積み木の問題 第１９問 （城北中学 2006年（平成18年度） 受験問題 算数）

問題　（城北中学　2006年　受験問題　算数）　難易度★★★★

次のように１辺１ｃｍの黒い立方体と白い立方体を順番に、

すき間なく積んでいきます。

　１段目・・・黒い立方体を１個

　２段目・・・白い立方体を４個

　３段目・・・黒い立方体を９個

　４段目・・・白い立方体を１６個

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　このとき、次の問に答えなさい。

（１）５段目まで積んだとき、立方体は全部で何個積まれましたか。

（２）７段目まで積んだとき、できる立体の表面積を求めなさい。

（３）２０段目まで積んだとき、できる立体を真上から見て黒い部分の

　　 面積を求めなさい。

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解答

　（１）１段目から５段目までの立方体の個数は、

１＋２×２＋３×３＋４×４＋５×５＝５５個 です。

　（２）７段目まで積んだ立体は、前後左右からは下の図１のように

見え、ここには正方形が１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８個あり、　

　　　

上下からは、下の図２，３のように見えます。

　　　

　　　

この部分の面積は、７×７×２＝９８ｃ㎡ なので、

７段目まで積んだ立体の表面積は、２８×４＋９８＝２１０ｃ㎡ です。

　（３）黒い立方体は奇数段目に積むので、１９段目までを考える

ことになります。

　黒い部分の面積は、

（１９×１９－１８×１８）＋（１７×１７－１６×１６）

　＋（１５×１５－１４×１４）＋（１３×１３－１２×１２）

　＋（１１×１１－１０×１０）＋（９×９－８×８）

　＋（７×７－６×６）＋（５×５－４×４）＋（３×３－２×２）＋１

という式で求められますが、計算が大変だと思います。

ここで、図３を利用して考えてみると、下の図４のように

　　

中央の黄色い正方形、青いカドの部分、黒い正方形の半分

の部分に分けることができます。

図４の３段目と５段目の差は、正方形の半分の８個分＝４ｃ㎡

図４の５段目と７段目の差も、正方形の半分の８個分＝４ｃ㎡

となり、４ｃ㎡ ずつ増えることがわかります。

よって、

（１９×１９－１８×１８）＋（１７×１７－１６×１６）

　＋（１５×１５－１４×１４）＋（１３×１３－１２×１２）

　＋（１１×１１－１０×１０）＋（９×９－８×８）

　＋（７×７－６×６）＋（５×５－４×４）＋（３×３－２×２）＋１

＝１＋５＋９＋１３＋１７＋２１＋２５＋２９＋３３＋３７

＝（１＋３７）×１０÷２＝１９０ｃ㎡ となります。

　＜別解＞

図４の青い部分の面積は、３/４ｃ㎡ で、１段に４個あるので、

１段につき３/４×４＝３ｃ㎡ となります。

１９段目までに、１段目以外に黒い立方体は９段あるので、

青い部分の面積は、３×９＝２７ｃ㎡

黒い部分の面積は、

　　（１＋３＋５＋７＋・・・＋１７）×０．５×４

＝（１＋１７）×９÷２×０．５×４＝１６２ｃ㎡

黄色い正方形の面積が １ｃ㎡

よって、求める面積は、

　　　　 ２７＋１６２＋１＝１９０ｃ㎡ となります。

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