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2011年6月24日 (金)

積み木の問題 第18問 (灘中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数)

   

問題 (灘中学 2005年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

1辺1cm の小立方体125個 をすき間なく積み上げて、

1辺5cm の大立方体を作ります。この大立方体を下の図

のように、大立方体の3つの頂点を通る平面で切断します。

   Pic_2348q

切断面より下の三角すいの部分には、

  (1)切断されていない小立方体が何個ありますか。

  (2)小立方体が切断されてできた体積が0.5c㎥ より

    大きい立体が何個ありますか。

  (3)小立方体が切断されてできた体積が0.5c㎥ より

    小さい立体が何個ありますか。

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解答

 (1)、(2)、(3)

1辺5cm の大立方体の切断面 と

1辺1cm の小立方体の切断面は、同じです。変わりありません。

 

切断面が上からどのようになっているか考えると、下の図1の

ように広がっていきます。A,B,C,D の4個の小立方体を見ると、

  Pic_2349a

A,B,D の3つの小立方体は、切断面より下の部分の体積が

  1×1÷2×1÷3=1/6c㎥

となっており、0.5c㎥ より小さく、小立方体C では、

  1×1×1 - 1/6 =5/6c㎥

となっていて、0.5c㎥ より大きくなっています。 

 

上から2段目までには、切断されていない小立方体はありません。

 

まず、(2)、(3)から先に考えると、下の図2のように、

   Pic_2350a

小立方体が切断されて体積が0.5c㎥ より大きい立体は、

図2の黄色い三角形の個数で、10個 です。・・・(2)

 

小立方体が切断されて体積が0.5c㎥ より小さい立体は、

図2の青い三角形の個数で、15個 です。 ・・・(3)

 

さて、切断されてない小立方体の個数について考えます。

図1の立方体C の真下には、下の図3のように、切断されない

小立方体が3個 あります。

  Pic_2351a

また、切断面の一番下は、下の図4のようになっています。

Pic_2352a

ここから、切断されていない小立方体の数を予想することも

可能ですが、ここでは、各段について考えてみましょう。

 

下の図5のように切断されるので、

Pic_2353a

3段目に1個、4段目に3個、5段目に6個 の切断されない

小立方体があり、下の図6のような合計10個 とわかります。

 Pic_2354a

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

解答の図1において、小立方体A,B,Dの切断面より下の部分の体積は
1×1×1÷2÷3=1/6 になり
小立方体C の切断面より下の部分の体積は
1-1/6=5/6 になります。

投稿: 万打無 | 2011年6月24日 (金) 20時42分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
ご指摘のとおり、体積計算を誤っておりました。
申し訳ございません。訂正させていただきました。
 
また、お気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2011年6月25日 (土) 05時25分

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