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2011年6月 7日 (火)

計算問題 第51問 (筑波大学附属駒場中学 2011年(平成23年度) 入試問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2011年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

(1)11,12,13,・・・,99 の2ケタの数について、それぞれ

   十の位と一の位の数をかけて 89個 の数を作ります。

   作った数の合計を求めなさい。

(2)1001,1002,1003,・・・,2011 の4ケタの数について、

   それぞれ千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の

   数をかけて 1011個 の数を作ります。作った数の合計を

   求めなさい。

(3)(2)で作った数のうち、一の位の数が 9 であるものは、何個

   ありますか。

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解答

 (1)十の位について分類すると、

11~19・・・1+2+3+・・・+9=(1+9)×9÷2=45

20~29・・・2+4+6+・・・+18=(2+18)×9÷2=90

30~39・・・3+6+9+・・・+27=(3+27)×9÷2=135

   ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 

90~99・・・45×9=405

 

このように、45の倍数の和として計算することができ、

合計すると、

  45+90+135+・・・+405=(45+405)×9÷2

=225×9=2025 です。

 

 

 (2)2000~2011までの数は、数の中に「0」が含まれるので

それぞれの位の数をかけると「0」になり、1001~1999までを

考えればよいことになります。

 

このうち、1001~1099までは、百の位に「0」を含むので、

それぞれの位の数をかけると「0」になり、合計も「0」です。

 

1100~1199までの数は、【千の位×百の位】が「1」に

なるので、合計は、(1)より、2025 です。

 

1200~1299までの数は、【千の位×百の位】が「2」で、

それぞれの位の数をかけると、合計は、(1)の2025×2

になることがわかります。

 

同様に、13 → 3倍、14 → 4倍、15 → 5倍、・・・、19 → 9倍

のようになるので、作った数の合計は、

  2025×1+2025×2+2025×3+・・・+2025×9

=2025×(1+2+3+・・・+9)

=2025×45

91125 です。

 

 

 (3)(2)で考える数は、1001~1999なので、千の位の1は

かけても変わらないので、3つの数をかけて、1の位が「9」に

なる数を数えればよいことになります。

 

1の位の数が「9」になるような、かけ算は、100までの間に、

9・・・1×9、3×3 、19・・・なし 、29・・・なし、

39・・・なし(13×3だが、13を作れない) 49・・・7×7、

59・・・なし、69・・・なし(39と同様)、79・・・なし、89・・・なし

99・・・なし(39と同様)

 なので、1×9=9、3×3=9、7×7=49 を挙げられます。

ここから、○7×7=□△9 となることと、○1×9=□△9、

1×○9=○9 となることがわかります。

 

○7 として考えられるものは、27(3×9)があります。

○1 として考えられるものは、21(3×7)、81(9×9)があり、

○9 として考えられるものは、9(1×9、3×3)、49(7×7)です。

 

 

1×9=9 より、1119,1191,1911 の3通り

3×3=9 より、1133,1331,1313 の3通り

7×7=49 より、1177,1771,1717 の3通り

27×7 より、1397、1379、1793,1739、1937,1973

        の6個

21×9 より、・・・27×7のときと同じ6個

81×9 より、1999

9×1 より、1×9,3×3 のときと同じもの

49×1 より、7×7 のときと同じもの

 

よって、一の位の数が「9」になるのは、

 1119,1191,1911,1133,1331,1313

  1177,1771,1717

 1397、1379、1793,1739、1937,1973

 1999 の16個 です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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