« 立体図形の切り口 第39問 (市川中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数) | トップページ | 速さ 第23問 通過算 (甲陽学院中学 2009年、奈良学園中学 2009年、山手学院中学 2010年 入試問題 算数) »

2011年6月20日 (月)

立体図形の体積 第34問 -くり抜き- (鷗友学園女子中学 2010年、城北中学 2011年 受験問題 算数)

 

問題 (鴎友学園女子中学 2010年、城北中学 2011年 

     受験問題 算数) 難易度★★★

 

(1)下の図1は、1辺6cmの立方体の正面と上の面から、

   それぞれ 正方形 と 円 の穴をあけ、反対側までまっすぐに

   くり抜いたものです。

  正方形の対角線と立方体の面の対角線は重なり、くり抜いた

  正方形の1辺は2cmです。円は半径1cmで、中心は立方体の

  面の対角線の交点であるとき、くり抜かれて残った立体の

  体積を求めなさい。

 Pic_1625q

                     (鷗友学園女子中学 2010年)

 

 

(2)1辺6cmの立方体があります。それぞれの面には、下の図2

  のように、2cmごとに点線が引いてあります。この立方体の

  図で青い部分(正方形と直径2cmの円)を反対側までくり抜き

  ました。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_2355q_2

(ア)この立体の体積を求めなさい。

(イ)この立体の表面積を求めなさい。

                          (城北中学 2011年)

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)くり抜く立体の体積は、1辺2cmの正方形を底面とする

高さ6cmの直方体と、半径1cm、高さ4cmの円柱の体積を

あわせたもので、

 2×2×6+1×1×3.14×4=36.56c㎥ です。

 

よって、残った立体の体積は、

 6×6×6-36.56=179.44c㎥ となります。

 

 (2)(ア)立体の体積は、立方体から、くり抜いた部分の体積を

除けば求められますね。

 

くり抜いた立体は、下の図A のような形をしています。

     Pic_2356a_2

この立体は、1辺2cmの立方体3個と、直径2cmの円柱2個で

できているので、その体積は、

    2×2×2×3+1×1×3.14×2×2

   =24+12.56

   =36.56c㎥ です。

 

よって、図A の立体を元の立方体からくり抜いた体積は、

    6×6×6-36.56=179.44c㎥ です。

 

 (2)(イ)まず、元の立方体の表面積は、

           6×6×6=216c㎡  です。

 

ここから、くり抜く穴である直径2cmの円の面積2個分と、

1辺2cmの正方形の面積2個分を除き、図1の立体の表面積を

加えれば、全体の表面積となります。

 

図1の立体の表面積は、まず円柱の側面積を計算すると、

   2×3.14×2×2=8×3.14 c㎡ です。

 

次に、立方体部分の表面積は、1辺2cmの正方形12枚から

直径2cmの円を2つ除いて、

  2×2×12-1×1×3.14×2=48-2×3.14 c㎡

 

ゆえに、全体の表面積は、

  216-(2×2×2+1×1×3.14×2)

     +8×3.14+(48-2×3.14)

=256+(8-2-2)×3.14 = 256+12.56

268.56c㎡ です。 

 

 

 鴎友学園女子中学の過去問題集は → こちら

 城北中学の過去問題集は → こちら

 鷗友学園女子中学の他の問題は → こちら

 城北中学の他の問題は → こちら

 

|

« 立体図形の切り口 第39問 (市川中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数) | トップページ | 速さ 第23問 通過算 (甲陽学院中学 2009年、奈良学園中学 2009年、山手学院中学 2010年 入試問題 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の体積 第34問 -くり抜き- (鷗友学園女子中学 2010年、城北中学 2011年 受験問題 算数):

« 立体図形の切り口 第39問 (市川中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数) | トップページ | 速さ 第23問 通過算 (甲陽学院中学 2009年、奈良学園中学 2009年、山手学院中学 2010年 入試問題 算数) »