規則性の問題 操作 第２２問 （学習院女子中等科 2004年、鷗友学園女子中学 2007年 受験算数問題）

問題 （学習院女子中等科　2004年、鷗友学園女子中学　2007年

　　　　受験算数問題） 難易度★★★★

【　１　】

下の図のようなスイッチがあり、スイッチを入れるとＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの

ライトが同時に光ります。その後、Ａは１秒ごと、Ｂは２秒ごと、

Ｃは４秒ごと、Ｄは８秒後ごとに光ったり消えたりします。

たとえばＤはスイッチを入れると８秒間光り、その後８秒間は

消え、再び８秒間光る、ということをくり返します。このとき

次の問に答えなさい。

　（１）スイッチを入れてから、初めて４つのライトが全て消えて

　　　 いるのは何秒後から何秒後までですか。

　（２）スイッチを入れてから１分間に、２つのライトだけが光るのは

　　　 合計何秒ありますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学習院女子中等科　2004年）

【　２　】

黄、赤、青の３色のランプがあります。黄は２秒ごとに１回、

赤は３秒ごとに１回、青は５秒ごとに１回ランプがつきます。

３色が同時にランプがついてから１分間に３色のうち２色が

つくのは何回ありますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鷗友学園女子中学　2007年）

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解答

　【　１　】

　（１）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのそれぞれの光り方について書くと、

Ａ：１秒光り、１秒消える　→　１＋１＝２秒周期

Ｂ：２秒光り、２秒消える　→　２＋２＝４秒周期

Ｃ：４秒光り、４秒消える　→　４＋４＝８秒周期

Ｄ：８秒光り、８秒消える　→　８＋８＝１６秒周期

以上のような光り方をすることになります。

２，４，８，１６ の最小公倍数は１６なので

全体として１６秒周期であることがわかります。

これを図にして表すと、下図のようになります。

　黄色が光っているとき、青が消えている時間を表します。

　図より、４つのライトが全て消えるのは、

１５秒後から１６秒後の間 とわかります。

　（２）１分＝６０秒 なので、６０÷１６＝３あまり１２秒 より、

ライトが１６秒間の光り方を３回くりかえし、１２秒経過した

ところまで考えればよいわけです。

１６秒間に２つのライトだけが光るのは、

３～４秒の１秒、５～７秒の２秒、９～１１秒の２秒、１２～１３秒の１秒

以上６秒で、１２秒までには５秒あるので、

１分間には、６×３＋５＝２３秒 ということになります。

　【　２　】

　２色が同時にランプがつくのは、２色の最小公倍数のとき

（２秒ごとの黄と３秒ごとの赤なら、６秒ごと）です。

黄と赤が同時につくのは、６秒後、１２秒後、１８秒後、２４秒後、

３０秒後、３６秒後、・・・の６０÷６＝１０回です。

このうち、３０秒後、６０秒後は、黄、赤、青の３色が同時に

ランプがつくので除かなくてはなりません。

よって、黄と赤が同時につくのは、１０－２＝８回です。

同様にして、赤と青が同時につくのは１５秒ごとで、

１５秒後、３０秒後、４５秒後、６０秒後の４回で、

３０秒後と６０秒後は３色が同時につくので、

赤と青が同時につくのは、２回です。

最後に黄と青が同時につくのは１０秒ごとで、

１分間に ６０÷１０＝６回ありますが、３０秒後と６０秒後は

３色同時につくので、６－２＝４回です。

よって、１分間に２色がつくのは、８＋２＋４＝１４回 です。

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