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2011年5月27日 (金)

立体図形の切り口 第38問 (灘中学 2011年(平成23年度) 入試問題 算数)

 

問題 (灘中学 2011年 入試問題 算数) 難易度★★★★★

 

下の図1は、1辺の長さが 9cmの立方体 JKLM-WXYZ で、

辺上の3等分点にすべて印をつけています。

 四角形ABCD、PQRS を底面とし、8つの三角形 ABP、BPQ,

BCQ、CPR、CDR、DRS、DAS,ASP を側面とする立体を V

とします。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_2316q_2

(1) 立体 V の体積を求めなさい。

(2) 立体 V を4点 E,F,G,H (それぞれ頂点J,K,L,Mから

   3cm の点 )を通る平面で切ります。

   (ア) 図2の例にならって切り口の図を書きなさい。

   (イ) 切り口の面積を求めなさい。

        Pic_2317q

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解答

 (1)図形の対称性から、立体V の体積は、立方体から、

下の図3の 三角すいP-AKB、P-BKX、B-PQX から成る

立体と同じものを、合計 4つ 除けば求められます。

 Pic_2318a

三角すいP-AKB の体積は、

  底面 : 三角形AKB の面積=3×6÷2=9c㎡

  高さ=KX=9cm なので、 9×9÷3=27c㎥ です。

三角すいP-BKX の体積は、

  底面 : 三角形BKX の面積=3×9÷2=13.5c㎡

  高さ=PX=3cm なので、13.5×3÷3=13.5c㎥ です。

三角すいB-PQX の体積は、

  底面 : 三角形PQX の面積=3×6÷2=9c㎡

  高さ=KX=9cm なので、9×9÷3=27c㎥ です。

 

よって、立体V の体積は、

  9×9×9-(27×2+13.5)×4 = 729-270

459c㎥ です。

 

 (2)(ア)まず、正方形EFGH と AP,BQ,CR,DS との交点が

下の図4のように、E,F,G,H から4cm のところとわかります。

  Pic_2319a

  次に、下の図5のように、立方体を真上から見ると、

AS,BP,CQ,DR は、それぞれ直角二等辺三角形の斜辺で、

正方形EFGH との交点は、斜辺を 1 : 2 に分ける点になり

ます。

      Pic_2320a

図4 と 図5 の点を合わせた、下の図6が、切り口の図となります。

  Pic_2321a

 (2)(イ)切り口の面積は、正方形EFGH の面積から、

図6の黄色い三角形と、青い台形の面積を4個分除けば

求められます。

 

 黄色い三角形の面積=4×2÷2=4c㎡

 青い台形の面積=(4+2)×1÷2=3c㎡

 

よって、切り口の面積は、

     9×9-(4+3)×4=53c㎡ です。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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