立体図形の切り口 第３７問 （桜蔭中学 2011年（平成23年度） 受験問題 算数）

問題　（桜蔭中学　2011年　受験問題　算数）　難易度★★★

下の図のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍの直方体があります。

３点ア、イ、ウを通る平面で切ったときにできる２つの立体の

体積の差が１５６ｃ㎥ のとき、この直方体の高さを求めなさい。

　　　　　

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　直方体の辺と切断面の４つ目の交点として、点エ を考えると、

イ が上から５ｃｍ、ウ が上から６ｃｍ で、イ → ウ で１ｃｍ

下がっているので、ア → エ でも１ｃｍ下がり、点エは上から４ｃｍ

のところとわかります。

下の図のように、　

　アから下へ６ｃｍ（反対側のウと同じ長さ）、

　ウから下へ３ｃｍ（反対側のアと同じ長さ）、

　イから下へ４ｃｍ（反対側のエと同じ長さ）、

　 エから下へ５ｃｍ（反対側のイと同じ長さ）

に、それぞれ点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ をとると、

　　　　

直方体を平面アイウエ、平面ＡＢＣＤ で３つの部分 ①、②、③ に

分けることができます。

① と ② は、同じ体積（合同）なので、平面アイウエ で直方体を

切断したときにできる２つの立体（① と ②＋③）の体積の差は

③ の立体（直方体）の体積に等しく、これが１５６ｃ㎥ なので、

　　③ の立体（直方体）の高さ ＝ １５６÷（３×４）＝１３ｃｍ

と求められるので、

　　元の直方体の高さ ＝ １３＋　（①＋②） の高さ

　　　　　　　　　　　　　  ＝ １３＋９＝２２ｃｍ です。　

　桜蔭中学の過去問題集は　→　こちら

　桜蔭中学の他の問題は　→　こちら