« 立体図形の展開図 第38問 (筑波大学附属中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第33問 (学習院中等科 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) »

2011年5月12日 (木)

有名な四面体 第5問 (駒場東邦中学 2011年、鎌倉学園中学 2004年 入試問題 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 2011年、鎌倉学園中学 2004年

     入試問題 算数) 難易度★★★

 

(1)ある正方形ABCD があり、辺BC,CD のまん中の点を

   それぞれ M,N とします。A と M、A と N、M と N を結んだ

   直線で正方形を折ると、四面体を作ることができます。

   この四面体の体積は、3087c㎥ でした。

   (ア)四面体を作ったとき、点B と重なる点をすべて答えなさい。

   (イ)この正方形の1辺の長さを求めなさい。

   (ウ)四面体を三角形 AMN を底面としたとき、

     四面体の高さを求めなさい。

                        (駒場東邦中学 2011年)

 

(2)下の図1のような 1辺10cmの正方形 PQRS があり、

   四面体の展開図になっています。

   Pic_2279q

   (ア)三角形QTUを底面としたとき、四面体の高さを求めなさい。

   (イ)組み立ててできる四面体の体積を求めなさい。

   (ウ)四面体を三角形 STU を底面としたとき、

     四面体の高さを求めなさい。

                       (鎌倉学園中学 2004年)

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)(ア)図がないので、まずは図を描きましょう。すると、

下の図Aのような展開図を描くことができます。

    Pic_2287a

これを組み立てると、下の図B のような三角すいになります。

   Pic_2288a

よって、重なる点は、C とD です。

 

 (1)(イ)BM=CM=□cm とすると、この四面体の体積は、

□×□÷2×(□×2)÷3=□×□×□÷3=3087c㎥ です。

 

3087=3×1029=3×3×343=3×3×7×49

    =3×3×7×7×7 なので、

□×□×□÷3=(3×7)×(3×7)×(3×7)÷3 より、

□=21cm とわかります。

 

よって、正方形の1辺の長さは、21×2=42cm です。

 

 (1)(ウ)三角形AMNの面積は、

 42×42-(42×21÷2×2+21×21÷2)

=21×21×4-(21×21×2+21×21×0.5)

=21×21×(4-2.5)=21×21×1.5 (= 661.5 )

 

三角形AMNを底面としたときの高さを□cmとすると、

     三角形AMNの面積 × □ ÷ 3 =3087

なので、(2)を利用すると、

     21×21×1.5×□=3087×3=21×21×21

となるので、1.5×□=21 より、□=14cm です。 

 

 

 (2)(ア)四面体の高さは、図Bを用いて説明すると、

ABとBM,BNが垂直なので、正方形の1辺と等しいことがわかり、

三角形QTUを底面としたときの四面体の高さは、10cm です。

 

 (2)(イ)四面体の体積は、

      5×5÷2×10÷3=125/3=41と2/3c㎥ です。

 

 (2)(ウ)三角形STUの面積は、

10×10-(5×10÷2×2+5×5÷2)=100-62.5

                         =37.5c㎡ です。

 

高さを□cmとすると、

  37.5×□÷3=125/3 より、

  □=125÷37.5=10/3=3と1/3cm です。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 鎌倉学園中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 鎌倉学園中学の他の問題は → こちら

 

|

« 立体図形の展開図 第38問 (筑波大学附属中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第33問 (学習院中等科 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 有名な四面体 第5問 (駒場東邦中学 2011年、鎌倉学園中学 2004年 入試問題 算数):

« 立体図形の展開図 第38問 (筑波大学附属中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) | トップページ | 立体図形の体積 第33問 (学習院中等科 2011年(平成23年度) 受験問題 算数) »