立体図形の体積 第３３問 （学習院中等科 2011年（平成23年度） 受験問題 算数）

問題　（学習院中等科　2011年　受験問題　算数）　難易度★★★

下の図１は１辺が３ｃｍの立方体です。図２は、図１の立方体を

切って、体積を１/２にした三角柱です。図３は、図２の三角柱を

切って、体積を図２の三角柱の１/３にした立体です。

下の図４は、図１の立方体を７個で作った立体です。

　　　　

下の図５は、図４の立体に、図２，３の立体をそれぞれいくつか

合わせて、どこから見えても同じように見えるように作った立体

です。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）図５の立体の辺の数を答えなさい。

（２）図５の立体を３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面で切ったとき、

　　 切り口の面積を求めなさい。

（３）図５の立体の体積を求めなさい。

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

　（１）図５の立体を真上から見ると、下の図６のようになります。

真上から見たときに見える辺の数は、青い正方形が４つ分、

斜めの辺が４つなので、合計４×４＋４＝２０本 です。

　　　　

真上からと真下からは同じように見えるので、残る辺は、

図６の下の図の青い線で、Ａ，Ｂ，Ｃ をはじめとする

図６の上の図の各頂点の数と等しく、８本あります。

よって、図５の立体の辺の数は、

　　 ２０×２＋８＝４８本 です。

　（２）Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面で図５の立体を切断すると、断面は

図６の上の図となります。この面積は、

　　 正方形５個 と 直角二等辺三角形４個

の面積と等しく、

　　 ３×３×５＋３×３÷２×４＝６３ｃ㎡ です。

　（３）図５の立体には、まず立方体が７個あります。

この体積は、３×３×３×７＝１８９ｃ㎥ です。

　次に、図５の立体を真上から見た、下の図７において、

青いところが図２の立体、黄色いところが図３の立体

となっています。

　　　　　　　　

真上と真下からは同じように見えるので、

この部分は、

　 （ ３×３×３÷２×４ ＋ ３×３×３÷２÷３×４ ）×２ （ 上下分 ）

　＝１４４ｃ㎥ です。

図５のまん中の部分には、図２の立体が４個 あります。

この体積は、

　３×３×３÷２×４＝５４ｃ㎥ です。

よって、図５の立体の体積は、

　 １８９＋１４４＋５４＝３８７ｃ㎥ となります。

　学習院中等科の過去問題集は　→　こちら

　学習院中等科の他の問題は　→　こちら