有名な四面体 第６問 （湘南白百合学園中学 2011年（平成23年度） 受験問題 算数）

問題　（湘南白百合学園中学　2011年　受験問題　算数）

　　　　 難易度★★★

下の図１は１辺が６ｃｍの立方体です。点Ｐ，Ｑは、それぞれ

辺ＡＢ，ＢＣ のまん中の点です。

　　　　　　

（１）３つの点Ｐ，Ｑ，Ｆ を通る平面で、この立方体を切ったとき、

　　 頂点Ｄ を含む方の立体の体積を求めなさい。

（２）（１）のように切ったときにできる三角すいＦ－ＢＰＱ の

　　 展開図は、下の図２のような正方形になりました。

　　 これを参考にして、頂点Ｄ を含む方の立体の表面積を

　　 求めなさい。

　　　　　

（３）図１の立方体を４つの点Ｐ，Ｅ，Ｇ，Ｑを通る平面で切ったとき、

　　 下の図３のような立体が切り取られます。この立体の体積を

　　 求めなさい。

　　　　　　

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解答

　（１）立方体の体積＝６×６×６＝２１６ｃ㎥ です。

立方体から、三角すいＦ－ＢＰＱの体積を除けばよく、

三角すいＦ－ＢＰＱの体積は、

　 ３×３÷２×６÷３＝９ｃ㎥  なので、

求める体積は、

　 ２１６－９＝２０７ｃ㎥ です。

　（２）頂点Ｄを含む方の立体の表面積は、

立方体の面が３面、台形２面、五角形ＡＰＱＣＤ、三角形ＦＰＱ の

合計となります。

　 立方体の面３面の面積は、６×６×３＝１０８ｃ㎡

　 台形２面の面積は、（３＋６）×６÷２×２＝５４ｃ㎡

　 五角形ＡＰＱＣＤ の面積は、６×６－３×３÷２＝３１．５ｃ㎡

　三角形ＦＰＱ の面積は、６×６－（３×３÷２＋３×６÷２×２）

　　　　　　　　　　　　　　 ＝１３．５ｃ㎡

となるので、頂点Ｄ を含む方の立体の表面積は、

　１０８＋５４＋３１．５＋１３．５＝２０７ｃ㎡ です。

　（３）ＥＰ，ＦＢ，ＧＱを延長すると、下の図４のように点Ｒ で

交わり、ＥＦ＝６ｃｍ、ＰＢ＝３ｃｍなので、三角すいＲ－ＢＰＱ と

三角すいＲ－ＥＦＧ の相似比＝１：２ とわかります。

　　　　　　

相似比が １ ： ２ なので、体積比は １×１×１：２×２×２＝１：８

なので、求める三角すい台ＢＰＱ－ＥＦＧ の体積は、

三角すいＲ－ＢＰＱ の体積の ８－１＝７倍 とわかり、

三角すいＲ－ＢＰＱ の高さ＝６ｃｍ なので、その体積は

（１）で求めた三角すいＦ－ＢＰＱ の体積と等しく ９ｃ㎥ です。

よって、求める体積は、９×７＝６３ｃ㎥ です。

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