立体図形の展開図 第４０問 （青山学院中等部 2010年（平成22年度） 受験問題 算数）

問題　（青山学院中等部　2010年　受験問題　算数）　

　　　　 難易度★★★

　ある直方体の１つの面には「Ｐ」という文字が、３つの面には

対角線が１本ずつ書かれています。図１、図２は、この直方体の

展開図を２通り描いたものです。辺ＡＢ の長さは１４ｃｍ です。

このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）図２には３本の対角線が書かれていません。図２に対角線を

　　 正しく書きこみなさい。

（２）図１の展開図の周（太線）の長さから、長方形ＡＢＣＤ の周の

　　 長さを引くと ２４ｃｍ です。また、図２の展開図の周（太線）の

　　 長さから、図１の展開図の周の長さを引くと １０ｃｍ です。

　　 このとき、直方体の体積を求めなさい。

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解答

　（１）図１から図２への変形は、下の図３のようにできます。

　　

　（２）図１の展開図の周の長さから、長方形ＡＢＣＤ の周の

長さを引くと、下の図４の赤線４本が残ります。これが２４ｃｍで、

　　　　

赤線１本の長さは、２４÷４＝６ｃｍ です。

次に、図１の展開図の周の長さより、図２の展開図の周の長さが

１０ｃｍ長いので、２つの周の長さを下の図５のように比べると、

　

赤線の本数は８本と同じですが、

　 図１では、青線４本、ＡＢ（１４ｃｍ）２本

　 図２では、青線２本、ＡＢ（１４ｃｍ）４本

となっており、

　 青線４本＋２８ｃｍ　より、青線２本＋５６ｃｍ が１０ｃｍ長いので、

青線２本＝４６－２８＝１８ｃｍ とわかります。

よって、青線の長さ＝９ｃｍ です。

ゆえに、直方体の体積は、　

　　　　　１４×６×９＝７５６ｃ㎥ です。

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