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2011年4月28日 (木)

点の移動 第21問 (大阪星光学院中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (大阪星光学院中学 2011年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図のように、半径6cmの円周上を動く点P とQ が

あります。PとQは同じ点を同時に出発し、点Pは時計回りに

進み、1周するのに20秒かかり、点Qは反時計回りに進み、

1周するのに30秒かかります。円の中心をOとして、三角形

OPQ の面積について考えます。

    Pic_2262q

(1)出発して5秒後の三角形OPQ の面積を求めなさい。

(2)三角形OPQの面積は、最大でいくらですか。

(3)出発してから20秒後までの間に、三角形OPQの面積が

   出発してから2秒後の面積と同じになる時間をすべて

   求めなさい。

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解答

 (1)最初に出発する場所を点A とすると、

1周するのに点Pは20秒、点Qは30秒かかるので、5秒間に

 点Pは、点Aから円の1/4の90度、

 点Qは、点Aから円の1/6の60度、

それぞれ進むので、角POQ=90+60=150度 となります。

 

下の図1のように、三角形POQは、OPを底辺とすると、

図のようにQRが高さとなります。

   Pic_2263a

三角形OQR は、正三角形の半分(三角定規)なので、

QR の長さは、OQの半分で、3cmです。

 

よって、5秒後の三角形OPQの面積は、6×3÷2=9c㎡ です。

 

 (2)OPを底辺として考えるとき、三角形OPQの面積が最大に

なるのは、高さQRの長さが最大のときで、OQの長さと同じに

なるときで、そのときの面積は、6×6÷2=18c㎡ です。

 

 (3)点Aを出発して2秒後の点P,Qの位置は、

    点P は、点Aから円の1/10 の36度

    点Q は、点Aから円の1/15 の24度

それぞれ移動したところにあり、角POQ=60度です。

 

つまり、三角形POQは正三角形になります。

 

正三角形と同じ面積になるのは、下の図2のように、

角POQ=120度 のときです。

   Pic_2264a

つまり、2秒後と同じ面積になるのは、角POQ の大きさが、

     120度、240度、300度

のときです。

 

2秒後、点Pは36度、点Qは 24度 → 角POQ = 60度

 

角POQ=120度 → 点Pは 72度、点Qは 48度 → 4秒後

角POQ=240度 → 点Pは144度、点Qは 96度 → 8秒後

角POQ=300度 → 点Pは180度、点Qは120度 → 10秒後

   点P は20秒で 360度移動するので、さらに 

角POQ=420度 → 点Pは252度、点Qは168度 → 14秒後

角POQ=480度 → 点Pは288度、点Qは192度 → 16秒後

角POQ=600度 → 点Pは360度、点Qは240度 → 20秒後

 

よって、4秒後、8秒後、10秒後、14秒後、16秒後、20秒後

の6回あります。

 

  

 大阪星光学院中学の過去問題集は → こちら

 大阪星光学院中学の他の問題は → こちら

 

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