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2011年4月11日 (月)

図形の移動 第37問 (横浜共立学園中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (横浜共立学園中学 2011年 受験問題 算数) 

     難易度★★★

 

 半径6cm、中心角270°の扇形があります。下の図のように、

半径2cmの円が扇形の周りを、矢印の方向に扇形に接しながら

1周して、元の位置に戻ります。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_2235q

(1)扇形の周のうち、円と接することができる部分の長さを

   求めなさい。

(2)円の中心が動いてできる線の長さを求めなさい。

(3)円が通ったあとにできる図形の面積を求めなさい。

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解答

 (1)扇形の周のうち、円と接することができる部分は、

下の図1の青線の部分です。黄色い線の部分は接することが

できないことに注意しましょう。

  Pic_2236a

この青線の長さは、

 (6-2)×2+6×2×3.14×270/360

=8+28.26=36.26cm です。

 

 (2)円の中心が動いてできる線は、下の図2のようになります。

  Pic_2237a

緑の線の長さは、(6-2)×2=8cm

赤い線の長さは、2×2×3.14×90/360 ×2 =6.28cm

青い線の長さは、(6+2)×2×3.14×270/360=37.68cm

 

よって、円の中心が動いてできる線の長さは、

 8+14×3.14=8+43.96=51.96cm です。

 

 (3)円が通ったあとにできる図形は下の図3のようになります。

Pic_2238a

この図形は、青い部分、黄色い部分、赤い部分、緑の部分に

分けて考えることができます。

 

青い部分の面積は、

  {(6+2×2)×(6+2×2)-6×6}×3.14×270/360

=48×3.14c㎡

 

黄色い部分の面積は、

  4×4×3.14×90/360 ×2 =8×3.14c㎡

 

赤い部分の面積は、

  2×2×3.14×90/360 =3.14c㎡

 

緑の部分の面積は、

 1辺6cmの正方形から、1辺2cmの正方形を2個のぞき、

 6×6-2×2×2=28c㎡

 

以上より、円が通ったあとにできる図形の面積は、

 (48+8+1)×3.14+28

=57×3.14+28=178.98+28 

206.98c㎡ となります。

  

 

 横浜共立学園中学の過去問題集は → こちら

 横浜共立学園中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(2)の青い線の長さは
(6+2)×2×3.14×270/360=37.68cm
になるので、答えは51.96cmになります。

投稿: 万打無 | 2011年4月12日 (火) 02時35分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘のとおり、弧の長さなので、直径で
計算しなければならないところ、半径のまま
計算しておりました。申し訳ございません。
訂正させていただきました。

また、お気づきの点がございましたら、
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2011年4月12日 (火) 17時42分

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