点の移動 第２０問 点の動く範囲 （渋谷教育学園幕張中学 2008年（平成20年度） 受験算数問題）

問題　（渋谷教育学園幕張中学　2008年　受験算数問題）

　　　 　難易度★★★★★

図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、点Ｐがこの直方体の

辺上、面上を自由に動きます。このとき次の問に答えなさい。

（１）点Ｐが辺ＤＨ上を動き、ＡＰ＋ＰＧの長さが最も短くなるとき、

　　 ＡＰ＋ＰＧの長さを１辺とする正方形の面積を答えなさい。

（２）三角形ＡＢＥの面積より三角形ＡＢＰの面積が大きくなるのは

　　点Ｐがどのようなところにいるときか、下の展開図に色をつけて

　　示しなさい。ただし、コンパスと定規を使用すること。　

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解答

　（１）ＡＰ＋ＰＧが最も短くなるのは、展開図でＡＧを

　　　 直線で結んだときです。　

　　　　

ＡＧの長さはわかりませんが、三角形ＡＣＧは

ＡＣ＝１２ｃｍ、ＣＧ＝１２ｃｍの直角二等辺三角形なので、

ＡＧを１辺とする正方形の面積は、

　　三角形ＡＣＧ×４　＝　１２×１２÷２×４　＝　２８８ｃ㎡　

となります。

　（２）三角形ＡＢＥの面積と三角形ＡＢＰの面積が等しくなるのが

点Ｐがどこにいるときかを調べます。

まず、点Ｐが辺ＥＦ上にいるときは三角形ＡＢＥと三角形ＡＢＰの

面積は等しいですね。

次に、点ＰがＥＨ上、ＦＧ上を動いていくと、ＡＰ、ＢＰの長さの方が

ＡＥ，ＢＦの長さより長いので、ＡＢを底辺とみれば、高さが高く

なるので、三角形ＡＢＰの面積は三角形ＡＢＥの面積より大きく

なります。

点ＰがＤＨ上、ＣＧ上にいるときに、三角形ＡＢＰの面積が

三角形ＡＢＥの面積と等しくなるのは、

　　　ＡＰ＝ＡＥ＝１２ｃｍ、ＢＰ＝ＢＦ＝１２ｃｍのときです。

（角ＰＡＢ，角ＰＢＡが９０度だから）

面ＡＥＨＤ上に点Ｐがあって、三角形ＡＢＰの面積と三角形ＡＢＥの

面積が等しくなるのは、

　 Ａを中心に、ＡＥを半径として扇形を描いたとき、その円周上に

　点Ｐがあれば面積は等しくなります。

面ＢＣＧＦ上でも同様です。　

ＤＨ上に点Ｐがいて、ＡＰ＝１２ｃｍになる点と、ＣＧ上に点Ｐがいて、

ＢＰ＝１２ｃｍになる点を結べば、三角形ＡＢＰの面積は、

その辺上を動くときに、三角形ＡＢＥの面積と等しくなります。

以上のことを展開図に点Ｐの範囲を示すと、下図のようになります。

　　　　

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