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2011年3月30日 (水)

点の移動 第18問 (渋谷教育学園幕張中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2007年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図1のように、2点P,Qが半径OA の上を同時に出発

します。点Pは点Oを中心とする半径6cmの円周上を反時計

周りに、360秒で1回転するように一定の速さで移動します。

点Qは点Oを中心とする半径4cmの円周上を反時計周りに

180秒で1回転するように一定の速さで移動します。

     Pic_2214q

下の図2は、2点P,Qが半径OA の上にあるときから

点Pが円周上を一周して再び半径OA の上に戻るまでの

時間と、3点O,P,Q を結んでできる三角形の面積との

関係を表したものです。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_2215q  

(1)図2の点(あ)は、2点P,Qが動き始めてから何秒後を

   表しているか求めなさい。

(2)図2の点(い)は、3点O,P,Q を結んでできる三角形の

   面積が最も大きくなるときの面積を表しています。このときの

   面積を求めなさい。

(3)3点O,P,Q を結んでできる三角形の面積が初めて6c㎡ に

   なるのは、2点P,Q が動き始めてから何秒後か求めなさい。

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解答

 (1)図2の点(あ)のとき、三角形OPQの面積は、0c㎡ です。

このようになるのは、3点O,P,Q が一直線に並んだときです。

 

点P が360秒で1周、点Qが180秒で1周することから、

点P は1秒で1度、点Q は1秒で2度ずつ回転移動するので、

3点O,P,Q が一直線に並ぶ、すなわち、点Pと点Qが180度

離れる(あ)は、180÷(2-1)=180秒後 とわかります。

 

 

 (2)図2から、点(い)になるのは、90秒後 とわかります。

90秒後には、点P は90度、点Q は180度移動するので、

下の図3の位置になり、

     Pic_2216a_2

(い)の値は、直角三角形OPQ の面積となり、

OP=6cm、OQ=4cm なので、

  6×4÷2=12c㎡ です。

 

 

 (3)グラフより、三角形OPQ の面積が初めて6c㎡ になるのは、

面積が12c㎡ になるより前で、点Pが90度進む前とわかります。

 

点Qの最初の位置をQ’とすると、三角形OPQ の面積は、

下の図4,5 のように、三角形OPQ’と等しくなります。

三角形OPQ と三角形OPQ’は合同

     Pic_2217a

この三角形OPQ’は、点PからOAに垂線PRを下ろすと、

底辺がOQ’、高さがPR となります。

 

三角形OPQ’の面積が6c㎡ で、OQ’=4cm なので、

PR の長さは、6×2÷4=3cm とわかります。

 

OQ=4cmなので、図4と図5では、図5の方が問題の条件に

近いことがわかります。(図4では、PRが4cm以上に見える)

 

下の図6のように、三角形OPR は、

    Pic_2218a

OP : PR = 2 : 1 の直角三角形なので、

角POR =30度 の直角三角形 とわかります。

(正三角形の半分)

 

よって、三角形OPQ の面積が初めて6c㎡ になるのは、

点P が30度 動いたときで、30秒後 です。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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