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2011年3月25日 (金)

図形の移動 第35問 (筑波大学附属駒場中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2011年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★★

 

 正三角形ABC と長さが1cmの線PQがあります。

最初、点Pは辺AB上に、点Qは辺BC上にあり、PBの長さと

QBの長さは、ともに1cmです。

 線PQを次のように、正三角形ABCの内側で動かします。

下の図1のように、線PQを、はじめに点Qを中心として

点Pが正三角形の辺上にくるまで回転させます。次に、

点Pを中心として、点Qが正三角形の辺上にくるまで

回転させます。このように、点Qと点Pを交互に中心とする

線PQの回転を、点Pが最初の位置にくるまでくり返します。

 Pic_2134q

正三角形ABCの1辺の長さが次の各場合のとき、

点Pが描く線の長さは、半径1cmの円の周の長さの

何倍ですか。

(1)3cm

    Pic_2135q

(2)4cm

 Pic_2136q

(3)1234cm

Pic_2137q

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解答

 半径1cmの円の周の長さは、2×3.14 です。

 

 (1)図2に点P,点Qの動いた様子を書きこむと、

下の図5のようになります。

    Pic_2138a

点Pの動いた様子を青い線で、点Qの動いた様子を赤い点線で

示してあります。

 

点Pの動いた角度は、120度×3=360度 なので、

点Pの動いた線の長さは、

  2×3.14×360/360 = 半径1cmの円の周の長さ

となるので、1倍 ということがわかります。

 

 

 (2)図3に点P,点Qの動いた様子を書き込んでいくと、

下の図6のようになっていきます。

  Pic_2139a

点Pの動いた線を青い線、点Qの動いた線を赤い点線で

それぞれ示しました。

点Pが最初の点Qの位置に、点Qは最初の点Pの位置に、

重なるまでを示してあります。

 

図6のあと、点Pは、点Qが動いた線をそのまま動くので、

点Pが動いた角度は、

 120+120+180+120+120=660度

 180+120+120+180=600度

 660+600=1260度

 

よって、点Pが動いた線の長さは、

  2×3.14×1260/360 となるので、

この長さは、半径1cmの円の周の長さの

 1240/360=3.5倍 ということがわかります。

 

 

 (3)線分PQが1周目の回転を終えて、Pがそのまま元のPの

位置に戻る場合(1)と、元のQの位置に来る場合(2)があり、

1辺の長さが奇数(3cmや5cm)のとき、Pはそのまま元のPの

位置に戻り、1辺の長さが偶数(4cm)のとき、Pは元のQの

位置に戻ることがわかります。

 

正三角形ABC の1辺の長さが1234cm のとき、1辺の長さが

偶数なので、Pは元のQの位置に戻ります。

 

次に問題となるのが、どのようにして回転した回数を数えるか、

です。ここで、下の図7(1辺6cmの場合)のように考えます。

Pic_21392a

線分PQの動きは、

 ①頂点A,B,C のところで120度回転(青線)

 ②各辺上を180度回転(赤線)

の2種類に分けられます。

 

図6(1辺4cm)では、

 ①の回転・・・2回×3頂点

 ②の回転・・・1回×3辺

があることがわかります。

 

次に、図7(1辺6cm)では、

  ①の回転・・・2回×3頂点 → 図6の場合と同じ

  ②の回転・・・3回×3辺   → 図6の場合+2回

 

この観察から、1辺8cmの正三角形の場合は、

  ①の回転・・・2回×3頂点

  ②の回転・・・5回×3辺

となることに気づくことができます。

 

1辺の長さと回転回数の関係は下の表1のようになります。

  Pic_21393a

 回転数={(1辺の長さ ÷ 2 ) - 1} 番目の奇数

もしくは、

 回転数=1辺の長さ - 3

という関係がわかるので、1辺の長さが1234cmのとき、

   回転数={(1234÷2)-1}番目の奇数

        =1234-3

       =1231 です。

 

ゆえに、1辺1234cmの正三角形内を線分PQが回転すると、

  ①120°の回転を6回

  ②180°の回転を1231×3回

点Pは移動するので、これは、半径1cmの円の円周の

 (120×6+180×1231×3)÷360

=2+1846.5

1848.5倍 と求められます。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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