平面図形の角度 第５６問 （フェリス女学院中学 2011年（平成23年度） 入試問題 算数）

問題　（フェリス女学院中学　2011年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★

下の図のように直角三角形ＡＢＣ と直角三角形ＣＤＥ が

重なっています。頂点Ｄ は辺ＡＢ 上にあり、辺ＡＣ と辺ＤＥ の

交点を点Ｆ とすると、点Ｆ は辺ＡＣ のまん中の点になりました。

また、辺ＡＣ は辺ＢＣ の２倍の長さで、三角形ＡＢＣ の面積が

１０ｃ㎡ のとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）角ア の大きさを求めなさい。

（２）三角形ＣＥＦ の面積を求めなさい。

（３）辺ＣＤ の長さを求めなさい。

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解答

　（１）まず、下の図１のように、三角形ＡＤＦ と三角形ＣＥＦ が

ＡＦ＝ＦＣ より、合同であることがわかります。

　　　

よって、ＤＦ＝ＦＥ 、ＡＤ＝ＣＥ ということがわかります。

次に、下の図２のように、三角形ＡＤＦ と三角形ＡＢＣ が相似な

ことと、ＢＣ：ＡＣ＝１：２ より、

　　　

ＡＤ の長さはＤＦ の長さの２倍であることがわかります。

ＡＤ＝ＣＥ なので、ＤＦ の長さの２倍、すなわちＤＥ の長さと

ＣＥ の長さが等しい ということがわかります。

よって、三角形ＣＤＥ は直角二等辺三角形 とわかるので、

角アの大きさは、４５度 です。

　（２）頂点Ｃ から辺ＡＢ に垂線を下ろし、交点を点Ｇ とすると、

下の図３のように四角形ＣＧＤＥ は正方形となります。

　　　

ここで、三角形ＢＣＧ と三角形ＣＦＥ もＣＧ＝ＣＥ より、

合同とわかります。

（１）より、三角形ＡＤＦ と三角形ＣＥＦ は合同なので、面積も同じ

です。三角形ＣＥＦ の面積を①とすると、ＤＦ＝ＥＦ なので、

正方形ＣＧＤＥ の面積＝④ となり、三角形ＡＢＣ の面積は、

　三角形ＢＣＧ ＋ 正方形ＣＧＤＥ ＝①＋④＝⑤＝１０ｃ㎡ です。

ゆえに、三角形ＣＥＦ の面積 ① ＝１０÷５＝２ｃ㎡ です。

　（３）ＣＤ は、正方形ＣＧＤＥ の対角線で、

正方形ＣＧＤＥ の面積が、８ｃ㎡ なので、

　 ＣＤ × ＣＤ ÷２ ＝ ８ より、ＣＤ＝４ｃｍ とわかります。

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