立体図形の切り口 第２３問 組み立てて切る （ラ・サール中学 2011年（平成23年度） 入試問題 算数）

問題　（ラ・サール中学　2011年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★★

　下の図の展開図を組み立ててできる角柱について、次の問に

答えなさい。

　

（１）この立体の体積を求めなさい。

（２）辺ＣＥ のまん中の点をＭとして、この立体を３点Ａ，Ｂ，Ｍを

　　 通る平面で切るとき、点Ｃを含む立体の体積を求めなさい。

　　 なお、角すいの体積は、底面積×高さ÷３ です。

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解答

　（１）展開図を組み立ててできるのは、底面を直角三角形とした

高さ ８ｃｍの三角柱で、その体積は、

　６×８÷２×８＝１９２ｃ㎥ です。

　（２）３点Ａ，Ｂ，Ｍを通る平面は、Ｍから辺ＡＢと平行に引いた

線上を通り、その線と辺ＤＥ の交点を点Ｎとすると、下の図１の

ような切り口になります。

　　　　　　　　

Ａ，Ｂ，Ｍ，Ｎを通る平面とＦＥの延長との交点をＧとすると、

下の図２のようになります。

　　　　　　　　

三角すいＧ－ＥＭＮ と三角すいＧ－ＡＢＦ は相似比が １：２

なので、体積比は、１×１×１：２×２×２＝１：８ なので、

三角すい台ＥＭＮ－ＡＢＦ の体積は、三角すいＧ－ＥＭＮの

８－１＝７倍 とわかります。

三角すい台ＥＭＮ－ＡＢＦ の体積は、

　４×３÷２×８÷３×７＝１１２ｃ㎥ と求められます。

よって、３点Ａ，Ｂ，Ｍを通る平面で三角柱を切るとき、

点Ｃを含む立体の体積は、

　１９２－１１２＝８０ｃ㎥ となります。

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