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2011年2月 2日 (水)

場合の数 第43問 式を成立させる (麻布中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (麻布中学 2011年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

計算式

   【  □□ ÷ □ + □ ÷ □□ 】

の6ヶ所の空欄に、1,2,3,4,5,6,7,8,9 の 9個の

数字から6個を入れて計算します。ただし、同じ数字を

2ヶ所以上で用いてはいけません。

   Pic_2126q

(1)計算結果が最も大きな整数となるような数字の入れ方を

   答えなさい。

(2)計算結果が「25」となるような数字の入れ方をすべて

   答えなさい。

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解答

 (1)【  □□ ÷ □ + □ ÷ □□ 】

□□÷□ の部分の計算部位を【 A 】

□÷□□ の部分の計算部位を【 B 】 とすると、

Aの部分の計算結果は、必ず1より大きくなり、

Bの部分の計算結果は、必ず1より小さくなります。

 

よって、最も大きくなる計算結果になる数字の入れ方は、

  【  98 ÷ 1 + 7 ÷ 23 】 

と考えられますが、これでは整数になりません。

Bの部分の計算結果は、必ず分数となるので、

Aの部分の計算で「1」で割ると、計算結果は

分数になってしまいます。

 

そこで、

 【 98 ÷ 2 】 を考えますが、この場合も

49+Bの計算(分数) となり、計算結果が整数に

なりません。 

 

次に考えるのは、【 98 ÷ 3 】 とするか、【 97 ÷ 2 】

とするかですが、大きいのは、【 97 ÷ 2 】 です。

 

よって、Bの計算結果を【 1/2 】にすればよいです。

計算結果が【 1/2 】 となるような割り算を考えると、

  6÷12 → すでに「2」は使われている

  7÷14 → すでに「7」は使われている

   8÷16 → 使うことができる

   9÷18 → すでに「9」は使われている

となるので、計算結果が最も大きな整数となる数字の入れ方は、

 【 97 ÷ 2 + 8 ÷ 16 】 です。

 

 (2)  □□ ÷ □ + □ ÷ □□ = 25

を考えると、Bの計算結果は、常に1より小さいので、

Aの計算結果が24以上25未満 でなければなりません。

 

□□÷□=24 と考え、数をあてはめていると、

     96÷4=24 にたどり着きます。

すなわち、A=97÷4+B ・・・①

       A=98÷4+B ・・・② が考えられます。(99は不適)

①のとき、B=3/4=6/8=9/12=12/16 で、

  B=9÷12 → すでに「9」は使われているので不適

②のとき、B=2/4 で、

  B=6÷12 → 使うことができる

   =7÷14 → すでに「4」は使われている

   =8÷16 → すでに「8」は使われている

   =9÷18 → すでに「9」は使われている

 

次に、72÷3=24、75÷3=25 より、

  A=73÷3 ・・・3が2回登場するので不適

  A=74÷3 ・・・③ が考えられます。

このとき、B=1/3 となればよいので、

  B=4÷12 → すでに「4」は使われている

   =5÷15 → 「5」が2回登場してしまう

   =6÷18 → 使うことができる

   =7÷21 → すでに「7」は使われている

   =8÷24 → すでに「4」は使われている

   =9÷27 → すでに「7」は使われている 

 

最後に、48÷2=24、50÷2=25 より、

  A=49÷2 ・・・④ が考えられます。

このとき、B=1/2 となればよいので、

  B=6÷12 → すでに「2」は使われている

   =7÷14 → すでに「4」は使われている

   =8÷16 → 使うことができる

   =9÷18 → すでに「9」は使われている

 

以上のことから、計算結果が「25」となるような数字の入れ方は、

 【  98 ÷ 4 + 6 ÷ 12  】

 【  74 ÷ 3 + 6 ÷ 18  】

 【  49 ÷ 2 + 8 ÷ 16  】

の3通り となります。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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