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2011年2月16日 (水)

立体図形の体積 第31問 (慶應義塾中等部 2011年(平成23年度) 入試問題 算数)

 

問題 (慶應義塾中等部 2011年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 下の図は、直方体から四角柱を切り取ったものです。

   Pic_2151q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)この立体の表面積を求めなさい。

(2)この立体を容器と考え、高さ54cmのところまで水を

   入れました。次に、頂点A,B,C のある面が底面に

   なるように容器をたおしました。このとき、水面の高さは

   何cmになりますか。

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解答

 (1)前から見た面は、下の図1のようになっていて、

    Pic_2152a

70 cm×80 cm の長方形から上底32cm、下底68cm、高さ48cm

の台形を切り取ったもので、

 70×80-(32+68)×48÷2=3200c㎡ の面積です。

 

よって、この立体の表面積は、

 20×(12+60+32+22+80+70)+3200×2

=5520+6400

11920c㎡ です。

 

 (2)高さ54cmまで水を入れると、下の図2のようになり、

    Pic_2153a

水面のDE の長さは、GH=48cm、DG=32cm なので、

下の図3のように、GAとHFの交点をJとして考えると、

      Pic_2154a

比より、AF:GH=12:48=1:4 なので、

JA:AG=1:3 なので、JA=16cm とわかり、

JA:JD=AF:DE =1:2 なので、DE=24cmと求められます。

 

よって、台形DEHGの面積は、

 (24+48)×32÷2=1152c㎡ なので、

この面の水の入っている部分の面積は、

 1152+22×80=2912c㎡ です。

水の体積は、2912×20(c㎥ )です。

(計算はしません。する必要ありません)

 

次に、頂点A,B,Cを含む面を底面とすると、

水は下の図4のようになります。

    Pic_2155a

問題は、水が辺HKを超えるかどうかです。

台形AFHGの面積は、(12+48)×48÷2=1440c㎡ なので

五角形ACKHFの面積は、1440+22×48=2496c㎡ で、

先ほどの2912c㎡ には足りません。

(水の体積としても、2496×20c㎥ で、足りません)

 

足りない分は、2912-2496=416c㎡ 分あり、これは

下の図5の四角形LMKHの面積に当たります。

    Pic_2156a

LM=22cmなので、MKの長さは、

 416÷22=208/11=18と10/11cm となります。

よって、水面の高さは、

 48+18と10/11=66と10/11cm となります。

 

 

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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