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2011年2月 8日 (火)

立体図形の体積 第30問 (栄東中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (栄東中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

1辺の長さが6cmの立方体があります。その立方体の各面に

下の図1の正四角すいを図2のようにはりつけます。図2は、

2つの面に対してはりつけたものです。

     Pic_2098q

 このとき、2つの正四角すいの頂点A,Bを通る直線と

立方体の辺CD が交わりました。

 立方体の6つのすべての面に図1の正四角すいをはりつけて

新しい立体(ア)を完成させます。

 

(1)立体(ア)は、図2の四角形ACBD と同じ形の四角形から

   作られます。立体(ア)には、この四角形がいくつありますか。

(2)立体(ア)の体積を求めなさい。

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解答

 (1)立方体の6つの面に正四角すいをはり合わせるので、

立体(ア)の表面に出ている面は、4×6=24面 となります。

四角形ACBD は、正四角すいの側面2面で出来ているので、

四角形ACBD と同じ四角形は、24÷2=12個 あることが

わかります。

 

 (2)立体(ア)の体積を求めるには、正四角すいの体積を

求めなければなりません。

 正四角すいの体積を求めるには、正四角すいの高さを

求めなければなりません。

 

ここで、頂点A,Bを結んだ線が辺CDと交わることを利用します。

 

正四角すいの高さを知るために、頂点A,Bを通る平面で

図2を切断する(まっぷたつにする)と下の図3のように高さが

現れます。

        Pic_2099a

頂点A,Bから垂直に下ろした線の交点をOとします。

ABとCDの交点をP,AOと立方体の交点をQとすると、

OA=OB なので、三角形OAB は、直角二等辺三角形

ということがわかります。

 

すると、三角形OAB と三角形QAP が相似で、

PQ=6÷2=3cm なので、正四角すいの高さAQ=3cm

ということがわかります。

 

よって、立体(ア)の体積は、

 6×6×6+6×6×3÷3×6=432c㎥ と求められます。

 

 

 栄東中学の過去問題集は → こちら

 栄東中学の他の問題は → こちら

 

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