立体図形の体積 第２８問 （東海中学 2010年（平成22年度） 入試問題 算数）

問題　（東海中学　2010年　入試問題　算数）　難易度★★★★

　下の図のような底面が台形の四角柱の容器に、仕切り板

ＥＦＧＨ が入っています。

　（ア）の部分に、水面が容器の高さと同じになるまで水を

入れてから、仕切り板ＥＦＧＨ を取り除いたところ、水面の

高さは容器の３分の２になりました。このとき、ＢＦの長さと

ＦＣの長さの比を求めなさい。

　ただし、ＡＥ：ＥＤ＝２：１、ＡＢ＝20ｃｍ、ＣＤ＝28ｃｍ です。

　　

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解答

　図１のように、台形ＡＢＣＤの左側をＰ，右側をＱとして、

四角柱の体積を考えると、

　　　　　　

Ｐ×高さ＝台形の面積×高さ×２/３ となり、

Ｐ×３＝台形の面積×２　なので、Ｐの面積：台形の面積＝２：３

ということがわかります。

　すなわち、Ｐの面積：Ｑの面積＝２：１ です。

次に、ＡＥ：ＥＤ＝２：１ なので、実際に数値を当てはめて計算

してみましょう。たとえば、ＡＥ＝２０ｃｍ、ＥＤ＝１０ｃｍ とすると、

　台形ＡＢＣＤの面積＝（２０＋２８）×３０÷２＝７２０ｃ㎡ なので、

　Ｐ＝４８０ｃ㎡、Ｑ＝２４０ｃ㎡ となります。　

下の図２のようにＢＥ，ＣＥ を結ぶと、

　　　　　　

三角形ＡＢＥ の面積＝２００ｃ㎡

三角形ＣＤＥ の面積＝１４０ｃ㎡ と求められるので、

三角形ＢＥＦ の面積＝４８０－２００＝２８０ｃ㎡

三角形ＣＥＦ の面積＝２４０－１４０＝１００ｃ㎡ とわかります。

よって、ＢＦ：ＦＣ＝三角形ＢＥＦ の面積：三角形ＣＥＦ の面積

　　　　　　　　　 ＝２８０ ： １００ ＝１４：５ とわかります。

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