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2011年1月14日 (金)

計算問題 第44問 (約束記号) (奈良学園中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (奈良学園中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 <m>は整数 m を11で割った余りを表し、[ m ]は整数 m を

7で割った余りを表します。たとえば、<8>=8、<12>=1、

[8]=1、[12]=5です。このとき、次の問いに答えなさい。

 

(1)<2010>を答えなさい。

(2)<[2010]>を求めなさい。

(3)<m>=3を満たす整数mのうち、1000以上2010以下の

   ものは何個ありますか。

(4)[ m ]=0を満たす整数mのうち、1以上2010以下のものは

   全部で何個ありますか。また、これらのmについて、<m/7>

   をすべて加えるといくらになりますか。

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解答

 (1)2010÷11=182あまり8 なので、<2010>= です。

 

 

 (2)2010÷7=287あまり1 なので、[2010]=1 です。

次に、<1>=1 なので、<[2010]>= です。

 

 

 (3)<m>=3 なので、11で割ると3あまる整数で、

そのうち1000以上2010以下のものの数を数えます。

 

1000÷11=90あまり10 なので、

 <1001>=0、(91×11=1001)

 <1004>=3 です。

 

 (1)より、<2010>=8 だったので、

 <2005>=3 で、<2002>=0 (182×11=2001)

となるので、

 <m>=3 となる整数は、

 182-(91-1)=92個 です。

 

 

 (4)[ m ]=0 ということは、7で割り切れる整数ということなので、

(2)より、2010÷7=287あまり1 だったので、 

 [ m ]=0 となる整数のうち、1以上2010以下のものは、

 287個 あることがわかります。

 

これらの m は、7から順番に、7,14,21,・・・,2009 まで、

7×1、7×2、7×3、・・・、7×287 とならんでいます。

これら287個について、7で割ったもの、すなわち、

  1,2,3,・・・,287 の整数を11で割ったあまりを

すべて加えるといくらになるか、という問題が、(4)の後半です。

 

287÷11=26あまり1 なので、<m/7>の合計は、

1から10までのあまりが26回くり返され、最後に1を足せばよく、

(1+2+3+・・・+10)×26+1=1431 となります。

 

 

 奈良学園中学の過去問題集は → こちら

 奈良学園中学の他の問題は → こちら

 

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