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2011年1月25日 (火)

点の移動 第16問 (六甲中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (六甲中学 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

下の図のように4つのビルが同じ間隔(かんかく)で一直線上に

建っていて、ビルBはビルAの高さの3分の2です。

 Pic_2068q_2

 太郎君がビルAの1階からエレベーターで上がっていくと、

ビルAの3分の1の位置を通過したとき初めてビルDの頂上が

見えました。さらに上がっていくと、ビルAの高さの9分の8の

位置を通過したときに初めてビルC の頂上が見えました。

 また、次郎君は太郎君と同時にビルD の頂上からエレベーター

で下り始め、頂上と1階の間を止まらずに往復しました。

 ビルの幅は考えないものとして、次の問に答えなさい。

 

(1)ビルC とビルD の高さの比を最も簡単な整数を用いて

   表しなさい。

(2)ビルD のエレベーターがビルAのエレベーターの1.2倍の

   速さで動くとき、太郎君がビルAの高さのどの位置に来たとき

   初めて次郎君の姿が見えますか。分数を用いて答えなさい。

(3)ビルD のエレベーターがビルAのエレベーターの2.4倍の

   速さで動くとき、太郎君がビルAの高さのどの位置にきたとき

   初めて次郎君の姿が見えますか。分数を用いて答えなさい。

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解答

 (1)ビルが同じ間隔で建っているので、比を使うことができます。

太郎君がビルAの3分の1を通過したときにビルDの頂上が

見えたので、下の図1のように、ビルD の高さは、ビルA の

3分の4 ということがわかります。

Pic_2069a_2

次に、太郎君がビルA の9分の8の位置を通過したときに

ビルCの頂上が見えたので、ビルC の高さは、ビルA の

 2/3 - (8/9 - 2/3) = 4/9 ということがわかります。

 

よって、ビルC とビルD の高さの比は、

 4/9 : 4/3 = 1 : 3

となります。

 

 

 (2)ビルDのエレベーターがビルAのエレベーターの1.2倍の

速さで動くので、太郎君がビルAの3分の1まできたとき、

次郎君は太郎君の1.2倍進み、下の図2のように、

 1/3 × 1.2 = 2/5 (ビルA の5分の2)の地点まで

来ています。

Pic_2070a

図2の状態から、さらに進むと、図3のように

太郎が[1]進み、次郎は[1.2]進みます

Pic_2071a

図3のとき、初めて太郎君から次郎君の姿が見えます。

このとき、青い三角形と緑の三角形は相似で、相似比は

   1 : 2 です。

すなわち、ビルD の頂上から次郎君の位置までは、

[ 2 ] の高さということになります。これが[ 1.2 ]+2/5

に等しいので、

  2/5 = [ 0.8 ] より、 [ 1 ] =1/2 の高さ

ということがわかります。

 

よって、図3の太郎君の位置の高さは、

 1/3 + 1/2 = 5/6 の高さ ということになります。

 

 <別解

太郎君から次郎君が見えたとき、太郎君はビルAを[ 1 ]の

高さまで上り、次郎君はビルDを[ 1.2 ]下ったと考えると、

下の図4のようになります。

Pic_2072a

すると、[ 1 ] - 1/3 : [ 1.2 ] = 1 : 2

なので、[ 2 ] - 2/3 = [ 1.2 ] より、

[ 0.8 ] =2/3 から、[ 1 ] =5/6 となり、

太郎君の高さは、ビルAの 5/6 の位置と求められます。

 

 

 (3)ビルDのエレベーターがビルAのエレベーターの2.4倍の

速さで動くとき、次郎君がビルDの地面の位置に来たとき、

太郎君がどこにいるのか計算すると、下の図5のように、

4/3 ÷ 2.4 = 5/9 の位置にいることがわかります。

  Pic_2073a

図5の状態から太郎君が[ 1 ]、次郎君が[ 2.4 ]上ったとき、

初めて太郎君から次郎君が見えたと考えると、下の図6の

ように位置を整理することができます。

Pic_2074a

ビルAの8/9の位置からビルCの頂上を初めて見ることができ、

そのとき見えるビルDの高さは、2/9 の高さです。

 

図6の青い三角形と緑の三角形が相似で、相似比が1:2なので、

 3/9 - [ 1 ] : [ 2.4 ] - 2/9 = 1 : 2 

ということになり、

 [ 2.4 ] - 2/9 = 6/9 - [ 2 ] なので、

 [ 4.4 ] = 8/9 より、 [ 1 ] = 20/99 の高さで、

図6の太郎君の位置は、ビルAの高さの

 5/9 + 20/99 = 25/33 の位置と求められます。

 

 <別解

ビルD の地面の位置とビルB の頂上を直線で結ぶと、

その先は、ちょうどビルA の頂上に達します。

 

よって、図5の状態から、太郎君が[ 1 ]、次郎君が[ 2.4 ]

上ったとき、下の図7のような状態になります。

Pic_2075a

図7の青い三角形と緑の三角形が相似で、相似比は1:2 です。

すなわち、4/9 - [ 1 ] : [ 2.4 ] = 1 : 2 となり、

[ 4.4 ] = 8/9 より、[ 1 ] = 20/99 なので、

図7の太郎君の位置は、ビルAの高さの

 5/9 + 20/99 = 25/33 の位置と求められます。

 

 

 六甲中学の過去問題集は → こちら

 六甲中学の他の問題は → こちら

 

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