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2011年1月17日 (月)

規則性の問題 図形 第16問 (頴明館中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (頴明館中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

下の図1のような正三角形を積み重ねます。下の図2は、

2段積み重ねた状態、図3は3段積み重ねた状態です。

Pic_2055q

図2の2段の状態のとき、

   正三角形の数は4個 (△が3個、▽が1個)

   頂点の数は6個

   辺の数は9本

と数えることとします。

 

3段以上積み重ねたときも同様にして正三角形の数、

頂点の数、辺の数を数えます。このとき次の問に答なさい。

 

(1)5段積み重ねたときの正三角形の数、頂点の数、辺の数

   はそれぞれいくつですか。

(2)正三角形の数が289個になるのは、正三角形を何段積み

   重ねたときですか。

(3)頂点の数が105個になるのは、正三角形を何段積み

   重ねたときですか。

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解答

 (1)正三角形の個数、頂点の個数、辺の本数の関係について

3段重ねた図3を元に考えてみます。

 図3の△を青くしてみると、下の図4のようになり、

       Pic_2056a

正三角形の数は、各段奇数個あり、

  1+3+5=9個 (段数までの個数の奇数までの和)

頂点の数は、上から1,2,3,4,・・・と増えており、

  1+2+3+4=10個 (段数+1まで計算→ (3)で使います)

辺の本数は、青い正三角形の個数×3 で、

 (1+2+3)×3=18本 (段数までの和書ける)

ということがわかります。

同様にして考えると、5段重ねたときの正三角形の個数は、

 1+3+5+7+9=25個 です。

頂点の個数は、1+2+3+4+5+6=21個 です。

辺の数は、(1+2+3+4+5)×3=45本 です。

 

 (2)奇数を何個まで数えると、和が289になるのか、という

問題ということがわかります。

 1+3+5+・・・+49=50×25÷2=625

 1+3+5+・・・+29=30×15÷2=225

 1+3+5+・・・+29+31+33=289 なので、

(33+1)÷2=17段 積み重ねたときということがわかります。

 

 (3)1+2+3+・・・+□=105 ということなので、

1+2+・・・+14=15×14÷2=105 より、

□=14です。

 

14が、段数+1なので、

 14-1=13段 積み重ねたときということがわかります。

 

 

 頴明館中学の過去問題集は → こちら

 頴明館中学の他の問題は → こちら

 

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