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2011年1月28日 (金)

立体図形の体積 第29問 -くり抜き- (東大寺学園中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 2010年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★★

 

たて8cm、横10cm、高さ12cmの直方体の形をした図1の

ような材木があります。

Pic_2101q

(1)この材木を真上から、下の図2の青色部分をまっすぐに下の面

   までくり抜いて穴をあけました。次に、真正面から、下の図3の

   青色部分をまっすぐに裏の面までくり抜いて穴をあけました。

   穴をあけた後の材木の体積を求めなさい。

     Pic_2102q

      Pic_2103q

(2)(1)のように穴をあけた後、さらに右側の面から、下の図4の

   青色部分をまっすぐに左側の面までくり抜いて穴をあけました。

   穴をあけた後の材木の体積を求めなさい。

      Pic_2104q

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解答 

 (1)最初の状態の材木の体積は、

      12×8×10=960c㎥ です。

 

まず、図2のように真上から真下へ長方形の穴をあけると

    6×4×12=288c㎥ の体積が減るので、

    960-288=672c㎥ の体積になります。

 

次に、図3の直角三角形の穴を正面から裏へあけると、

どうなるか考えてみましょう。下の図5のように、図2の下にすぐ

図3を描くと、

    Pic_2105a

直角三角形の穴があけられるのは、黄色い部分ということが

わかります。

 

この部分にあく穴の体積は、

   4×8÷2×(2cm+2cm)=64c㎥ と求められ、

材木の体積は、

   672-64=608c㎥ となることがわかります。

 

 (2)図4の長方形の穴をあけるので、図2の右に図4を描くと、

下の図6のように、どの部分に穴があくのかわかります。

Pic_2106a

図6の緑の部分に穴があきます。

問題は、赤い部分(直角三角形の穴と交わる部分)が

どのような形になるのかです。

 

まず、緑の部分にあく穴の体積は、

    3×4×(2cm+2cm)+1×4×(1cm+1cm)

56c㎥ です。

 

赤い部分がどうなっているかというと、下の図7のように、

図3と図4をならべて描くと、

Pic_2107a

赤い部分で増えるのは、図7の緑の台形(厚さ1cm)の部分

ということがわかります。下の図8より、

          Pic_2108a

 台形ABCD のAD=4÷8×6=3cm

 台形ABCD のBC=4÷8×2=1cm

とわかるので、

 この台形柱の体積は、

  (1+3)×4÷2×1=8c㎥ です。

 

よって、残った材木の体積は、

  608-(56+8)=544c㎥ と求められます。

  

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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