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2011年1月26日 (水)

影の映り方 第5問 (聖光学院中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (聖光学院中学 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

下の図のように、机から40cmの高さに光源P があり、机から

20cm の高さには、机の面Sに平行に半径5cm の円板が

あります。円板の中心O は、光源Pから机の面Sにまっすぐに

下ろした直線PH の上にあります。このとき、次の問に答えなさい。

ただし、円板の厚さは考えないものとし、円周率は3.14とします。

Pic_2092q

(1)円板を直線PH の上方向(光源に近づける方向)に10cm

   移動したときの机の面S に映る影と、元の位置から円板を

   下方向(机に近づける方向)に5cm 移動したときの机の面

   S に映る影との面積の差を求めなさい。

 

(2)机の面S に平行に、元の位置から円板を左に5cm 移動

   すると、その影の円もそのまま左に移動します。このとき、

   机の面S に映る円板の影が移動してできる図形の面積を

   求めなさい。

 

(3)円板を(2)の位置から直線PH を軸(じく)として反時計回りに

   90°回転させます。このとき、机の面S に映る円板の影が

   移動してできる図形の面積を求めなさい。

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解答 

 (1)まず、円板を光源の方向へ10cm移動したときは、

下の図1のようになり、

Pic_2093a 

円板の半径をOQ、影の半径をHRとすると、

三角形POQと三角形PHRが相似なので、

HR=20cm ということがわかります。

 

次に、光源を机の方向に5cm移動したときは、

下の図2のようになり、

 Pic_2094a

HR=8cm ということがわかります。

 

よって、2つの影の面積の差は、

 (20×20-8×8)×3.14=336×3.14

                   =1055.04c㎡ です。

 

 

 (2)円板を元の位置から左に5cm移動すると、下の図3のように

影が移動することがわかります。

   Pic_2095a

円板の直径がOA、影の直径がHB=20cm となります。

(三角形POA と三角形PHB が相似なため)

 

机の面Sに映る影が移動してできる図形は、下の図4のように、

  Pic_2096a

面積は、半径10cmの円と、たて20cm、横10cmの長方形の

和になるので、

  10×10×3.14+20×10=514c㎡ と求められます。

 

 

 (3)円板を(2)の位置から直線PHを軸として反時計回りに

90°回転させると、影も90°回転して、下の図5のように移動

します。

 Pic_2097a_2

この面積は、 直径HB(20cm)の半円2つと、半径HBの扇形

の和として求めることができ、

  10×10×3.14+20×20×3.14×90/360

=314+314=628c㎡ と求められます。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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