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2011年1月18日 (火)

図形の移動 第31問 円の周りを回る円 (栄東中学 2008年(平成20年度) 入試問題 算数)

 

問題 (栄東中学 2008年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

半径3cmの7個の円が下の図1のように並んでいます。

円O と円P がそれぞれ矢印の方向に、緑色の5個の円の

周りをすべらないように同時に転がり始め、この2つの円の

中心が重なるまで動きました。

Pic_2057q

 この円O と円P は、下の図2のように、半径が3cmの円の

周りをすべらないように転がるとき、円O は15秒、円P は

10秒で1周します。

Pic_2058a

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)円O の中心が1秒間に動く長さは何cmですか。

(2)円O の中心と円P の中心が重なるまでに、2つの円の

   中心の動いた長さの差は何cmですか。

(3)円O の中心と円P の中心が重なったのは、転がり始めて

   から何秒後ですか。

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解答

 (1)円Oの中心は、下の図3の点線の道のりを15秒で動くので

      Pic_2059a

1秒間に円Oの中心が動く長さは、

 6×2×3.14÷15=2.512cm です。

 

 (2)円Pの中心は、1秒間に

6×2×3.14÷10=3.768cm 動きます。

 

円P が円O を追いかけるので、円Oの中心と円Pの中心が

重なるまでに、2つの円の中心の動いた長さの差は、下の図4の

赤線の長さに等しく、

Pic_2060a

6×2×3.14×(180/360+120/360+180/360)

6×2×3.14×4/3

50.24cm です。

 

 (3)(2)の道のりを、1秒間で円Pと円Oの中心の動く長さの

差で割れば、何秒で追いつくかを計算できます。

 

1秒間に円Pと円Oの中心の動く長さの差は、

 6×2×3.14÷10-6×2×3.14÷15

=6×2×3.14×(1/10 - 1/15)

=6×2×3.14×1/30 なので、

 

円Pが円Oに追いつくまでの時間は、

 (6×2×3.14×4/3) ÷ (6×2×3.14×1/30)

=4/3 ÷ 1/30

40秒 と求められます。

 

 

 栄東中学の過去問題集は → こちら

 栄東中学の他の問題は → こちら

 

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