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2010年12月27日 (月)

場合の数 第42問 組み合わせ (青雲中学 2010年 受験問題 算数)

 

問題 (青雲中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 太郎君が出場する3つのマラソン大会では、コースにいくつかの

給水ポイントがあり、太郎君は、2ヵ所続けて給水しないことが

ないようにします。次のような大会で完走するとき、太郎君には

それぞれ何通りの給水の方法がありますか。ただし、スタートと

ゴールには給水ポイントはありません。コースを途中で戻って

給水ポイントで給水することもありません。

 

(1)2ヵ所の給水ポイントがある大会

(2)3ヵ所の給水ポイントがある大会

(3)7ヵ所の給水ポイントがある大会

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解答

 (1)2ヵ所の給水ポイントがあるとき、

太郎君は、①番目の給水ポイントのみで給水する場合、

②番目の給水ポイントのみで給水する場合、

①番目と②番目の両方で給水する場合、

3通りの給水の仕方があります。

 

 (2)3ヵ所の給水ポイントがある場合、

太郎君は、①番目、②番目、③番目のそれぞれの給水ポイントで

【給水する】または【給水しない】ことを選ぶことができます。

すなわち、2通りの方法があります。

 

①番目、②番目、③番目それぞれで2通りの方法があるので、

全部で、2×2×2=8通り の方法があります。

 

ただし、太郎君は、2回続けて給水しないことはないので、

8通りのうち、2回続けて給水しない場合を除かなければならず、

①番目+②番目、②番目+③番目、①番目+②番目+③番目

の給水をしなかった3つの場合を除いて、8-3=5通り

給水の方法があることがわかります。

 

 (3)7ヵ所の給水ポイントをそれぞれ①、②、③、④、⑤、⑥、⑦

とします。

 太郎君の給水の仕方として、最も回数が少ないのは、

②、④、⑥ で給水する「3回」です。

 

「4回」給水する方法は、

②、④+【⑤⑥⑦から2つ選ぶ】 → 3通り

【①②③から2つ選ぶ】+④、⑥ → 3通り

【①または②】+③+⑤+【⑥または⑦】 → 4通り

以上の10通り

 

「5回」給水する方法は、

①~⑦から5つ選ぶ方法のうち、

①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥、⑥⑦が除かれている場合を除き、

6+5+4+3+2+1-6=15通り 

「6回」給水する方法は、どこか一ヵ所で給水を取らないので、

7通りあります。

 

「7回」給水する方法は、すべての場所で給水するので

1通りです。

 

よって、全部で、

 1+10+15+7+1=34通り の給水方法があります。

 

 

 青雲中学の過去問題集は → こちら

 青雲中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

ある地点で給水しなかったならその次の地点では給水しなければならない。
よってn箇所の給水ポイントがある大会のn箇所目で給水する場合がA通り、給水しない場合がB通りあったなら、(n+1)箇所の給水ポイントがある大会で(n+1)箇所目で給水する場合はA+B通り、給水しない場合はA通りあることになります。
これを踏まえて1箇所目2箇所目3箇所目…の給水する場合と給水しない場合の組み合わせの数の表を作ると毎度おなじみのフィボナッチ数列になりますね。

投稿: 万打無 | 2010年12月28日 (火) 06時39分

万打無さま、コメントありがとうございます。

フィボナッチ数列をうまく組み込んだ問題だと
思います。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2011年1月27日 (木) 17時34分

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