規則性の問題 数の並び 第４２問 （愛光中学 2010年 入試算数問題）

問題　（愛光中学　2010年　入試算数問題）　難易度★★★

　ある規則にしたがって分数が下のように並んでいます。

（１）約分すると、２９/３１ になる分数は何番目ですか。

（２）上のように並んだ分数の中から、それ以上約分できない

　　 ものだけを取り出して、順に並べます。最初の１０個を

　　 答えなさい。

（３）（２）で並べた分数のうち、５０番目の分数を答えなさい。

（４）（２）で並べた分数のうち、１番目から５０番目までの分数を

　　 すべてかけるといくらになりますか。

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解答

　（１）分子と分母の差が「６」になるようにすると、

２９/３１＝８７/９３ となり、これは「８７番目」とわかります。

　（２）分数は、分子・分母ともに奇数のものと、

分子・分母ともに偶数のものが交互に並んでいます。　

このうち、分子・分母ともに偶数のものは、「２」で約分できるので、

分子・分母ともに奇数のものだけ考えればよいことになります。

次に、分子と分母の差が「６」であることから、約分できる分数は

分子・分母ともに「３」の倍数のものになります。

よって、以上のものを除いたものを並べると、

下の表１のようになります。

　　　　　

　（３） （２）で並べた分数の規則は、いろいろ考えられると

思います。ここでは、次の１０個を表２のように書くことにします。

　　　　　

表２は、表１のものに、＋３０ したものになっています。

このことから、５０番目の分数の分子は、３０×５－１＝１４９、

５０番目の分数の分子は、１４９＋６＝１５５ とわかり、

５０番目の分数は、１４９/１５５ と求められます。

　（４）（２）で並べた分数を順次かけていくと、残るのは、

最初の２個の分子と、最後の２個の分母で、

４９番目の分母は、１５５－４＝１５１ より、

計算結果は、１×５/１５１×１５５＝１/４６８１ となります。

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