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2010年12月31日 (金)

場合の数 並べ方 第41問 図形 (東海中学 2010年(平成22年度) 受験算数問題)

 

問題 (東海中学 2010年 受験算数問題) 難易度★★★★

 

立方体の箱を、次の規則に従って積み上げていきます。

・ 各段は1列とします。

・ 各段は最も左側からつめて箱を積んでいきます。

 

例:箱が3つのとき、積み方は下の図1の3通りです。

 Pic_2046q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)箱が5つのときの積み方を、すべて書きなさい。

 

(2)さらに、次の規則に従って、積み上げた箱に番号を

   つけていきます。

・ 箱に1から順に番号をつけていき、同じ段の箱は、右にある

 箱ほど番号が大きい

・ 上に乗っている箱は、その真下の箱より番号が大きい。

 

例:箱が3つのとき、番号のつけ方は、下の図2の4通りです。

Pic_2047q

箱が5つのとき、番号のつけ方は何通りありますか。

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解答

 (1)まず、1段目に箱を5つならべるときと、4つならべるときは、

それぞれ下の図3のように1通りずつあります。

 

次に、1段目に箱を3つならべるときは、下の図4のように2通り

あります。

 

さらに、1段目に箱を2つならべるときは、下の図5のように2通り、

1段目に箱が1つのときは、下の図6のように1通りあります。

  Pic_2048a

上の図3~図6の7通りの図 が答えです。

 

 (2)(1)の図3のとき、1段目に箱が5つのときは、

下の図7のように番号のつけ方は1通り

1段目に箱が4つのときは、下の図7の青い箱に

2~5番の4通りの番号のつけ方があります。

        Pic_2049a_2

次に、(1)の図4のように1段目に箱が3つあるときですが、

まず、下の図8の場合、

        Pic_2050a

青の箱には、「2」、「3」のどちらかの番号を書くことができます。

「4」は、黄色の箱と、青の上の箱両方とも「4」より大きい数字に

しなければならなくなるので、「4」をつけることはできません。

 

青の箱の数字が「2」の場合、

  黄色の箱につける数字は、「3」、「4」、「5」の3通りで、

  2段目には残りの2つの数字が自動的に入ります。

 

青の箱の数字が「3」の場合、

  黄色の箱につける数字は、「4」、「5」の2通り で、

  2段目には残りの2つの数字が自動的に入ります。

 

よって、図8の場合の番号のつけ方は、3+2=5通り です。

 

次に、下の図9の場合、

        Pic_2051a

青の箱には、「2」、「3」、「4」の数字を書くことができます。

青い箱に「2」の番号とつけると、

  黄色の箱には、「3」、「4」、「5」の3通りの番号をつけられ、

  2段目、3段目には残りの2つの数字が自動的に入ります。

青い箱に「3」の番号をつけると、

  黄色の箱には、「4」、「5」の2通り の番号をつけられ、

  2段目、3段目には残りの2つの数字が自動的に入ります。

青い箱に「4」の番号をつけると、

  黄色の箱には、「5」の番号の1通り だけ、番号をつけられ、

  2段目、3段目には残りの2つの数字が自動的に入ります。

よって、図9のときの番号のつけ方は、

  3+2+1=6通り です。

 

次に、(1)の図5のように、1段目に箱が2つのときを考えます。

まず、下の図10の場合は、

        Pic_2052a

青い箱には、「2」か「3」の番号をつけることができます。

「4」の数は、黄色の箱と、青の右の箱に「5」をつけなければ

ならないので、「4」の数をつけることはできません。

これは、図8のときと同じです。

 

青い箱に「2」の番号をつけると、

  黄色い箱には、「3」、「4」、「5」の3通り の番号をつけられ、

  右側の箱には、残りの2つの数字が自動的に入ります。

青い箱に「3」の番号をつけると、

  黄色い箱には、「4」、「5」の2通り の番号をつけられ、

  右側の箱には、残りの2つの数字が自動的に入ります。

 

よって、図10の場合の数字のつけ方は、

  3+2=5通り です。(図8の場合と同じ)

 

次に、下の図11の場合は、

        Pic_2053a

図の青い箱に、「2」~「5」の数字をつけることができ、

番号のつけ方は、4通り です。

 

(1)の図6の場合は、「1」~「5」の数字を順番につけるだけで、

番号のつけ方は1通り です。

 

よって、箱が5つのとき、番号のつけ方は、

  1+4+5+6+5+4+1=26通り となります。

 

 

 東海中学の過去問題集は → こちら

 東海中学の他の問題は → こちら

 

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