立体図形の体積 第２７問 （投影図） （横浜共立学園中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題　（横浜共立学園中学　2009年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★

　下の図は、１辺の長さが９ｃｍの立方体から、高さ６ｃｍの

円柱の４分の１を切り取ってできた立体を真正面と真上から

見た図です。次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）この立体の体積を求めなさい。

（２）この立体の表面積を求めなさい。

（３）この立体を下の底面から□ｃｍのところで、底面に平行な

　　 平面で切断すると、体積がちょうど２等分されます。

　　 □に当てはまる数を答えなさい。小数の場合は小数第２位を

　　 四捨五入しなさい。

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解答

　（１）体積は、（立方体の体積） － （円柱の４分の１の体積）

として求めることができ、

　 ９×９×９－６×６×３．１４×９０/３６０×６

＝７２９－１６９．５６

＝５５９．４４ｃ㎥ です。

　（２）表面積は、下の図１の青い２面と、真上から見える面、底面

の４つの面が、１辺９ｃｍの正方形の面積と等しく、

　 ９×９＝８１ｃ㎡ です。

　　　　　

次に、図１の赤い部分は、円柱の側面積で、

　 ６×２×３．１４×９０/３６０×６＝５６．５２ｃ㎡ です。

そして、真正面から見た下の図２の黄色い面が２面あり、

　　　　　

面積は、９×９－６×６＝４５ｃ㎡ です。

よって、この立体の表面積は、

　 ８１×４＋４５×２＋５６．５２＝４７０．５２ｃ㎡ です。

　（３）まず、この立体の半分の体積は、（１）より、

　　　 ５５９．４４÷２＝２７９．７２ｃ㎥ です。

下から３ｃｍのところで切断した場合、

　下側の直方体の体積は、９×９×３＝２４３ｃ㎥ なので、

半分に達しません。

ゆえに、切断する場所は、下の図３のように円柱部分です。

　　　　　

高さを求めるには、下の図４の緑の面を底面としたときの

高さを求めればよいことになります。

　　　　　

図４の緑の部分の面積は、

　 ９×９－６×６×３．１４×９０/３６０

＝８１－２８．２６

＝５２．７４ｃ㎡ です。

緑の部分を底面としたとき、体積が ２７９．７２ｃ㎥ になるのは、

２７９．７２÷５２．７４＝５．３０・・・≒５．３ｃｍ の高さのときです。

立体の底面（正方形）からの高さは、

　 ９－５．３＝３．７ｃｍ のところとなります。

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