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2010年11月19日 (金)

反射 第3問 (久留米大学附設中学 2010年 入試問題 算数)

 

問題 (久留米大学附設中学 2010年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

 たて6cm、横10cmの長方形ABCD があって、頂点Aから

出発した点Pが辺BC上の点E で初めてはね返り、以後、辺に

ぶつかるたびにはね返り続けて、どこかの頂点に達したときに

止まります。BE=Xcmとし、X は9以下の整数とします。

下の図は、X=4のとき、5回はね返って頂点Bで止まる様子を

表しています。

    Pic_2000q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)X=2,3のとき、点Pは何回はね返って、どの頂点で止まるか

   答えなさい。

(2)点Pが頂点B,Cで止まるときのXをすべて求めなさい。

(3)はね返る数が最も多いときのXを求めなさい。

   また、そのときのはね返る回数は何回ですか。

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解答

 (1)X=2 のとき、AD=10cm より、

10÷2=5 と割り切れ、点Pは、4回はねかえって

5回目で頂点C または 頂点Dで止まることがわかります。

 

頂点A を出発した点Pは、1回目に辺BC上ではね返り、

2回目は辺AD上、3回目は辺BC上、4回目は辺AD上

ではね返るので、止まる頂点は、C となります。

 

ゆえに、X=2 のとき、4回はね返って頂点Cで止まります

 

次に、X=3のとき、3+3+3=9cm なので、辺CDで

はね返ることがわかります。

 

何回目でちょうど頂点に止まるのか考えると、

3cmと、10cmの最小公倍数で、点Pはちょうど頂点に

止まることになることがわかります。

 

すると、3と10の最小公倍数は、30なので、

30÷3=10 より、点Pは、辺AD,BC上で9回はね返ることが

わかるので、止まる頂点は、奇数回なので頂点AまたはDです。

 

さらに、下の図1のように、30÷10=3 なので、最初に辺CD上、

次に辺AB上で、合計3-1=2回はね返り、頂点Dで止まります。

Pic_2001a

以上のことから、X=3のとき、点Pは、

9+2=11回はね返って、頂点Dで止まります

 

 (2)(1)より、10とXの最小公倍数を調べ、辺AD,BC上で

はね返る回数が偶数回なら点Pは頂点B,Cで止まります。

 

X=1~9です。

X=1のとき、最小公倍数は「10」で、

10÷1=10 より、9回はね返ります。

 

X=2のとき、(1)より、頂点Cで止まります。

 

X=3のとき、(1)より、11回はね返り、頂点Dで止まります。

 

X=4のとき、最小公倍数=20なので、

20÷4=5 より、4回はね返るので、頂点BかCで止まります。

 

X=5のとき、最小公倍数=10なので、

10÷5=2 より、1回はね返り、頂点Dで止まります。

 

X=6のとき、最小公倍数=30なので、

30÷6=5 より、4回はね返り、頂点BかCで止まります。

 

X=7のとき、最小公倍数=70なので、

70÷7=10 より、9回はね返り、頂点AかDで止まります。

 

X=8のとき、最小公倍数=40なので、

40÷8=5 より、4回はね返り、頂点BかCで止まります。

 

X=9のとき、最小公倍数=90なので、

90÷9=10 より、9回はね返り、頂点AかDで止まります。

 

よって、点Pが頂点BかCで止まるときのXは、

X=2,4,6,8 です。

 

 (3)(2)で辺AD,BC上ではね返る回数を調べました。

点Pがはね返る回数が最も多いのは、どういうときかというと、

最小公倍数が大きいほど辺AB,CDではね返る回数も増え、

X=9 のとき、最小公倍数=90で、最も多いことがわかります。

 

90÷10=9 より、8回、辺AB、CDではね返るので、

X=9のとき、はね返る回数は、

 9+8=17回 で、これが最多です。

 

 

 久留米大学附設中学の過去問題集は → こちら

 久留米大学附設中学の他の問題は → こちら

 

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