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2010年11月25日 (木)

図形の移動 第29問 円の周りを回る円 (学習院中等科 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (学習院中等科 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

下の図1,2は、4つの点A,B,C,D を中心とする半径6cmの

円を、中心を結ぶと正方形になるようにならべたものです。

     Pic_1979q

 いま、点Pを中心とする半径6cmの円が、図1の位置から、

4つの円A,B,C,D の周りをすべらないように回転して1周

します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)円Pが図1の位置から下の図2の位置まで移動したとき、

   中心Pが動いた長さを求めなさい。

 Pic_1980q_2

(2)円Pが1周し終わったとき、円が何回転したか求めなさい。

(3)円Pが1周し終わったとき、点Pが動いて囲んだ図形の面積を

   求めなさい。ただし、1辺の長さが12cmの正三角形の面積を

   62.35c㎡ とします。

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解答

 (1)中心Pが動いた長さは、下の図3のように

Pic_1981a

半径12cm、中心角360-(60×2+90)=150度 の扇形の

円周に等しく、

  12×2×3.14×150/360 = 31.4cm です。

 

 (2)下の図4のように、半径が同じ2つの円を用意し、片方が

もう一方の周りをすべることなく周ると、 

Pic_1982a

外側の円の中心が180度移動する間に、外側の円は1回転

することがわかります。

 

(1)より、図1の円の中心Pは1周する間に、150×4=600度

移動するので、600÷180=3と1/3 回転することが

わかります。

 

 (3)求める面積は、

半径12cm、中心角150度の扇形4個、

1辺12cmの正方形1個、

1辺12cmの正三角形3個 の合計面積です。

 

よって、求める面積は、

 12×12×3.14×150/360 ×4 +12×12+62.35×4

1147c㎡ です。

 

 

 学習院中等科の過去問題集は → こちら

 学習院中等科の他の問題は → こちら

 

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