規則性の問題 数の並び 第３７問 （洛南高校附属中学 2010年 入試問題 算数）

問題　（洛南高校附属中学　2010年　入試問題　算数）　

　　　　 難易度★★★

　１、１＋２、１＋２＋３、１＋２＋３＋４、１＋２＋３＋４＋５、・・・

のそれぞれの数を６で割った余りをならべると、

　　　　　　　１，３，０，４，３，・・・

という数の列になります。この数の列について、

次の問に答えなさい。

（１）２２番目の数を答えなさい。

（２）１番目から２２番目までの数をすべて足すといくらですか。

（３）２２個目の「０」は、全体の何番目の数ですか。

（４）１番目から２０１０番目までの数をすべて足すといくらですか。

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解答

　（１）１番目から順に調べていくと、

　　　　　　　１，３，０，４，３，３，

　　　　　　　４，０，３，１，０，０，

　　　　　　　１，３，０，４，３，３，

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

１２個周期で、同じ数のくり返しになることがわかります。

よって、２２番目の数は、２２－１２＝１０番目の数と同じで、

「１」となります。

＜確かめ算＞

１から２２までの和を６で割った余りを調べればよく、

　１＋２＋３＋・・・＋２２＝（１＋２２）×２２÷２＝２５３

　２５３÷６＝４２あまり１　なので、答えは「１」です。

　（２）１番目から１２番目までの和は、

１＋３＋０＋４＋３＋３＋４＋０＋３＋１＋０＋０＝２２

１３番目から２２番目の和は、１番目から１０番目までの和に等しく

「２２」なので、

　１番目から２２番目までの和は、２２＋２２＝４４ です。

　（３）１番目から１２番目までに、「０」は４個あります。

１個目の「０」は３番目、２個目の「０」は８番目、

３個目の「０」は１１番目、４個目の「０」は１２番目 なので、

２２個目の「０」は、２２÷４＝５あまり２ なので、

　　　　　１２個の周期を５周して２個目の「０」 ということです。

よって、５×１２＋８＝６８番目 ということがわかります。

　（４） ２０１０÷１２＝１６７あまり６ なので、

１２個の周期を１６７周くりかえした後、６個目が２０１０番目の数で、

１番目から２０１０番目までの数をすべて足すと、

　２２×１６７＋（１＋３＋０＋４＋３＋３）＝３６８８ となります。

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