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2010年11月26日 (金)

場合の数 並べ方 第40問 (江戸川学園取手中学 2009年 入試問題 算数)

 

問題 (江戸川学園取手中学 2009年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★★

 

(1)0,1,2,3,4 の5種類の数字が書かれたカードがそれぞれ

   1枚ずつあります。この中から3枚を選んで3ケタの整数を

   作るとき、

  (ア)全部で何種類の整数を作ることができますか。

  (イ)小さい方から27番目の数を答えなさい。

 

(2)0,1,2,3,4 の5種類の数字が書かれたカードがそれぞれ

   2枚ずつあります。この中から3枚を選んで3ケタの整数を

   作るとき、

   (ア)全部で何種類の整数を作ることができますか。

   (イ)作れるすべての整数を足すといくらになりますか。

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解答

 (1)(ア)百の位には、1,2,3,4の中から1つ選びます(4通り)

十の位には、百の位以外の4種類の数から1つ選びます(4通り)

一の位には、百、十の位以外の3種類の数から1つ選ぶので、

全部で、4×4×3=48種類 の整数を作ることができます。

 

 (1)(イ) (ア)で求めた48通りのうち、百の位が「1」のものは、

48÷4=12通り、百の位が「2」のものも12通りあり、あわせて

24通りとなります。

 

小さい方から27番目の数は、百の位が「3」の数のうち、

小さい方から27-24=3番目 の数ということになり、

301,302,303,304 の順で、303は作れないので、

小さい方から27番目の数は、304 です。

 

 (2)(ア)百の位は、(1)と同様に1~4の4通り 考えられます。

百の位を「1」とすると、十の位、一の位は、下の表のようになり、

24通りの整数を作ることができることがわかります。

  Pic_2002a

百の位が2,3,4のときも、同様になるので、

作ることのできる整数は、24×4=96種類 です。

 

 (2)(イ)下の表2のように、百の位が「1」のものと「2」のものを

ならべてみましょう。

  Pic_2003a_2

すると、変わっているのは、 一の位で「4通り」になる数の位置と、

その種類です。(0,2,3,4 → 0,1,3,4)

 

各位ごとに計算すると、次のようになります。

 

百の位が「1」の24種類の整数の和は、

 100×24+{10×4+(20+30+40)×5}

  +{(0+1+2+3+4)×4+(0+2+3+4)}

百の位が「2」の24種類の整数の和は、

 200×24+{20×4+(10+30+40)×5}

  +{(0+1+2+3+4)×4+(0+1+3+4)}

百の位が「3」の24種類の整数の和は、

 300×24+{30×4+(10+20+40)×5}

  +{(0+1+2+3+4)×4+(0+1+2+4)}

百の位が「4」の24種類の整数の和は、

 400×24+{40×4+(10+20+30)×5}

  +{(0+1+2+3+4)×4+(0+1+2+3)}

 

よって、96種類の整数の和は、

 (100+200+300+400)×24 ・・・ 百の位の和

+{(10+20+30+40)×4+(10+20+30+40)×3×5}

                        ・・・十の位の和

+(0+1+2+3+4)×4×4+(0+1+2+3+4)×3

                        ・・・一の位の和

=1000×24+100×19+10×19

=24000+1900+190

26090

 

 

 江戸川学園取手中学の過去問題集は → こちら

 江戸川学園取手中学の他の問題は → こちら

 

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