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2010年11月22日 (月)

場合の数 図形の選び方 第12問 (灘中学 2004年 入試問題 算数)

 

問題 (灘中学 2004年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 下の図のように、たて6cm、横10cmの長方形の辺上に

①から⑯までの点が、2cmごとにあります。この16個の点から

3個の点を選んで三角形を作るとき、次の問に答えなさい。

 ただし、(1)、(2)、(3)では、形も大きさも同じ三角形で

あっても、選んだ点が違えば別の三角形と考えるものとします。

    Pic_1954q

(1)面積が最も大きい三角形の面積を求め、そのような三角形が

   何個できるか答えなさい。

(2)面積が最も小さい三角形の面積を求め、そのような三角形が

   全部で何個できるか答えなさい。

(3)直角の頂点が①の直角三角形は(ア)個、

   直角の頂点が②の直角三角形は(イ)個、

   直角の頂点が⑤の直角三角形は(ウ)個、

   直角の頂点が⑥の直角三角形は(エ)個できます。

   したがって、直角三角形は全部で(オ)個できます。

   (ア)~(オ)に入る数を答えなさい。

(4)直角三角形ではない二等辺三角形は6種類あります。

   そのうち5種類を下の図に書き込みなさい。

   ただし、形も大きさも同じものは同じ種類と考えます。

      Pic_1955q

---------------------------------------------

-----------------------------------------------

解答

 (1)三角形の面積=底辺×高さ÷2 なので、

面積が最も大きい三角形は、底辺の長さ、高さが共に最も大きい

三角形で、下の図1のように、

   Pic_1956a

長方形の半分の面積の三角形が最も面積が大きく、

  6×10÷2=30c㎡ です。

面積が30c㎡ になる三角形は、下の図2のように、

たとえば長方形ABCDの辺ABを底辺とすると、

三角形の残り1個の頂点は、⑨~⑫まで4通り考えられ、

   Pic_1957a

 BCを底辺とすると、⑫~⑯と①の6通り、

 CDを底辺とすると、①~④の4通り、

 DAを底辺とすると、④~⑨の6通り 考えられ、

全部で20通り数えられます。

 

ただし、図1のような直角三角形ABCは、辺AB,BCのどちらも

底辺として数えてしまっているので、除かなければなりません。

 

このような直角三角形は、ABC,BCD,CDA,DAB の4個

あるので、面積が30c㎡ となる三角形は、

 20-4=16通り できます。

 

 

 (2) (1)とは逆に、三角形の面積が最も小さくなるのは、

辺の長さ、高さが共に最も小さいときで、下の図3のような

三角形が面積が最も小さくなり、

   Pic_1958a

この面積は、2×2÷2=2c㎡ です。

 

三角形の面積が2c㎡ となる三角形の数を数えるとき

気をつけたいことは、下の図4のように、

   Pic_1959a

1つの底辺に対して、同じ面積になる三角形が2つできることです。

(⑤⑥を底辺としたとき、残り1つの頂点が③か⑩なら面積は2c㎡)

 

このことから、底辺として考えられるのは、辺AB、CD上では3個、

辺AD,BC上では5個あるので、(3+5)×2=16個 となり、

三角形の個数は、16×2=32個 と考えられます。

 

ただし、(1)と同様に、図3のような直角三角形、すなわち

長方形ABCDの4スミに作ることができる4個の直角三角形に

ついては、重複して数えてしまっているので、除く必要があり、

面積が2c㎡ となる三角形の個数は、32-4=28個 となります。

 

 

 (3)(ア)①を直角の頂点とする三角形は、下の図5のように

   Pic_1960a

 5×3=15個 できます。

 

 

 (3)(イ)②を直角の頂点とする三角形。

そもそも②で直角ができるのか、と悩むかもしれませんが、

よく考えれば直角ができることに気づきます。

 

まず、下の図6のようなとき。

   Pic_1961a

②-⑪を底辺として直角三角形を3個作ることができます。

 

次に、下の図7のとき。

   Pic_1962a

青と黄色の直角三角形が合同なので、②に直角ができます。

三角形②⑤⑮が直角三角形ということです。

 

さらに、下の図8のとき。

   Pic_1963a

青と黄色の三角形は、相似で、共に直角二等辺三角形なので

②のところに直角ができ、三角形②⑥⑯が直角三角形です。

 

図6,7,8より、②が直角の頂点となる直角三角形は、

 3+1+1=5個 できます。

 

 

 (3)(ウ)⑤を直角の頂点とする三角形として考えられるものは、

まず下の図9のような直角三角形で、

   Pic_1964a

5個の直角三角形があることがわかります。

 

次に、下の図10のように黄色と青の直角二等辺三角形を

考えると、

   Pic_1965a

⑤のところに直角ができることがわかります。

すなわち、③⑤⑬を結んでできる三角形が直角三角形です。

 

さらに、下の図11のような黄色と青の直角三角形を、⑤を

はさんで作ることができ、黄色と青の直角三角形は相似なので

   Pic_1966a

⑤のところに直角を作ることができ、②⑤⑪を結んでできる

三角形が直角三角形であることがわかります。

 

よって、図9,10,11より、⑤が直角の頂点となるような

直角三角形は、5+1+1=7個 できます。

 

 

 (3)(エ)直角の頂点が⑥にある直角三角形は、

まず、下の図12のように、

   Pic_1967a

5個の直角三角形が考えられます。

 

次に、下の図13のように黄色と青の直角二等辺三角形を

⑥をはさんで作ると、

   Pic_1968a

②、⑥、⑫を結んでできる三角形が直角三角形になることが

わかります。

 

さらに、下の図14、15のように黄色と青の直角三角形を

描くと、黄色と青の直角三角形は、ぞれぞれ合同なので、

   Pic_1969a_2

⑥のところに直角を作ることができ、

①、⑥、⑪を結んだ三角形、⑯、⑥、⑩を結んだ三角形が

どちらも直角二等辺三角形になることがわかります。

 

よって、図12,13,14,15より、直角の頂点が⑥の

直角三角形は、5+1+1+1=8個 できます。

 

 

 (3)(オ)図の対称性から、

直角の頂点が①になる直角三角形の個数は、

直角の頂点が④、⑨、⑫になる直角三角形の個数に等しく、

 

直角の頂点が②になる直角三角形の個数は、

直角の頂点が③、⑩、⑪になる直角三角形の個数と等しく、

 

直角の頂点が⑤になる直角三角形の個数は、

直角の頂点が⑧、⑬、⑯になる直角三角形の個数と等しく、

 

直角の頂点が⑥になる直角三角形の個数は、

直角の頂点が⑦、⑭、⑮になる直角三角形の個数と等しいので、

 

直角三角形は、(3)(ア)~(エ)より、全部で

 (15+5+7+8)×4=140個 できることがわかります。

 

 

 (4)形も大きさも同じものは同じ種類と考えることに注意すると、

二等辺三角形の1つの底辺が長方形の辺上にあるものは、

下の図16のようなものがあります。

      Pic_1970a

次に、底辺が長方形の辺上にないものは、下の図17のように

緑色の正方形を考えると、2種類の二等辺三角形を考えられます。

      Pic_1971a

さらに、辺の長さが3:4:5の直角三角形より、下の図18の

二等辺三角形があることがわかります。

      Pic_1972a

図16,17,18の6種類から、5種類を描けばよいことになります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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