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2010年10月29日 (金)

規則性の問題 操作 第19問 (洛星中学 2010年 受験問題 算数)

 

問題 (洛星中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★★

 毎分1m の速さで進むロボットがあり、このロボットが図のような

まっすぐの道を進みます。

Pic_1934q_2

 ここで、地点A,B,Cに「赤」と「青」からなる信号を用意します。

信号は次のような規則で変わるものとします。

  ・地点Aの信号は4分ごとに「青」、「赤」をくり返す

  ・地点Bの信号は3分ごとに「青」、「赤」をくり返す

  ・地点Cの信号は2分ごとに「青」、「赤」をくり返す

 

 このロボットは自分の前にある信号がすべて「赤」のときには

その場で停止し、自分より前にある信号がひとつでも「青」に

なれば再び前進します。

 ただし、ロボットが信号のある地点にきたとき、その信号は

見えなくなるものとします。

 

 このロボットが10時ちょうどに地点Oを出発し、地点Cに

着くまでの時間を計る実験をしました。すべての信号は、

10時ちょうどに「赤」から「青」になりました。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)このロボットが地点Aに着くのは何時何分ですか。

 

 このロボットが地点Oを出発し地点Bに着くまでに、停止する

ことが20回あり、20回目の停止の後動き出して1分後に

地点Bに着きました。

 

(2)OBの長さは何mですか。

 

 この日の実験では、ロボットが地点Cに着いたとき、地点Cの

信号がちょうど「青」から「赤」に変わりました。

 翌日、同じ実験をしたのですが、13時ちょうどから、地点Cの

信号が故障のためずっと「青」のままだったので、ロボットは

前日に比べて20分早く地点Cに着きました。

 

(3)OCは何mですか。

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解答

 (1)A,B,C 地点の信号が、4分、3分、2分ごとに変わるので、

4×2=、3×2=、2×2= の最小公倍数:24分後までの

信号の変化について考えることにします。

 すると、下の図1のようになり、

    Pic_1935a

ロボットが止まる、すべての信号が赤になるのが、

 15分~16分の1分間と、22分~24分の2分間 の2回で、

合計3分間あることがわかります。

 

 以降は、このくり返しとなり、OA=100mであることから、

  100÷24=あまり4で、

96分後までに、96-3×=84m のところまで

ロボットが進んでいることがわかります。

 

あと16m 残っていて、図1より、15m進むと1分停止し、

次の1mで100mに達するので、ロボットがA地点に着くのは

96+15+1+1=113分後=1時間53分後 の11時53分

と求められます。

 

 

 (2)次のような早とちりをしないように気をつけましょう。

 

ロボットは24分間に2回停止するので、20回停止した後の

1分後に地点Bに着いたということは、地点Bは下の図2のように

    Pic_1936a_2

24×10+1=241分後に地点Bに着きます。ロボットが

その間に停止した時間は、(1+2)×10=30分 なので、

ロボットが移動したOBの長さは、241-30=211m

 

問題文をよく読まないと、このように誤ってしまいます。

 

100mを過ぎると、A地点の信号を通り過ぎるので、

B地点とC地点の信号のみを考えなければなりません。

 

A地点にロボットが着くのは、(1)より、24分周期の図の

17分のところです。その先は、B地点とC地点の信号しか

見えなり、下の図3のように、

    Pic_1937a

B地点とC地点の信号が共に「赤」になるのは、

   3分~4分の1分間、10分~12分の2分間、

   15分~16分の1分間、22~24分の2分間

の合計4回あることがわかり、図3のように、

A地点をスタート地点と考えると、図3の①→②→③→④の順に

ロボットが停止する時間帯があることがわかります。

 

(1)より、A地点にロボットが来るまでに、

 4周×2回+1回=9回 停止することがあり、

残り11回停止するので、①→②→③→④ の順では、ロボットは

2周した後、③の停止の1分後に地点Bに着くことがわかります。

 

よって、ロボットはA地点を過ぎてからB地点に着くまで、

 24×2+(24-17)+13=68分進み、

その間に停止する時間は、

 6×2+2(①)+1(②)+2(③)=17分 あるので、

OBの長さは、

 100+(68-17)=151m と求められます。

 

 

 (3)ロボットがC地点に着くのは、地点Aに着いた68分後なので

11時53分+68分=13時1分 です。

 

 24分周期では、地点Bは下の図4の位置になり、

    Pic_1938a

13時ちょうどから考えると、青→赤→青→赤→・・・を

2分ごとにくり返すことがわかります。

 

 信号がずっと「青」のままのとき、ロボットは20分早く

地点Cに着くので、20÷2=10回の停止をしなかった

ことになります。

 

また、ロボットが地点Cに着いたとき、ちょうど地点Cの信号が

「青」から「赤」に変わったとあるので、この条件を満たす

地点Cの位置は、13時以降、ロボットが42分進んだ場所で、

地点Bからロボットが進んだ長さは、(42-1)-20=21m で、

(13時01分に地点Bにいるので、42-1と1m引いています)

OB=151m なので、OC=151+21=172m とわかります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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