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2010年10月 1日 (金)

数の性質 第58問 (灘中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (灘中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 数 A に対して、A をこえない整数のうち、最も大きいものを[ A ]

として表します。たとえば、[ 3.3 ] = 3、[ 4 ] = 4 です。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)次の計算をしなさい。

  Pic_1898q       Pic_1899q

(2)次の計算をしなさい。

Pic_1900q

(3)次の20個の整数の中に、全部で何種類の整数が

   あるか答えなさい。

  Pic_1901q

(4)次の2010個の整数の中に、全部で何種類の整数が

   あるか答えなさい。

Pic_1902q

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解答

 (1)(ア)20÷7=2あまり6 なので、[20/7]=2

2010÷7=287あまり1 なので、[2010/7]=287

 

よって、2+287=289 です。

 

 (1)(イ)30÷7=4あまり2 なので、[30/7]=4

2000÷7=285あまり5 なので、[2000/7]=285

 

よって、4+285=289 です。

 

 

 (2) (1)より、最初から□番目と、最後から□番目を足すと

289になるのではないか、と予想できます。

 

分母が7なので、7周期で移り変わることが考えられるので、

20,30,40,50,60,70,80,90 までの8個について

調べてみます。

 

40÷7=5あまり5 より、[40/7]=5

1990÷7=284あまり2 より、[1990/7]=284 和:289

 

50÷7=7あまり1 より、[50/7]=7

1980÷7=282あまり6 より、[1980/7]=282 和:289

 

60÷7=8あまり4 より、[60/7]=8

1970÷7=281あまり3 より、[1970/7]=281 和:289

 

70÷7=10 より、[70/7]=10

1960÷7=280 より、[1960/7]=280 和:290

 

80÷7=11あまり3 より、[80/7]=11

1950÷7=278あまり4 より、[1950/7]=278 和:289

 

90÷7=12あまり6 より、[90/7]=12

1940÷7=277あまり1 より、[1940/7]=277 和:289

 

ここまでの周期性から、次の表のことがわかります。

Pic_1903a_2

分子が90と1940のものは、結果が20と2010のものと

同じになり、これ以降同じものがくり返されることがわかります。

 

20から2010まで、200個の分数があり、

ちょうどまん中は、[1010/7]+[1020/7] で、100番目です。

 

7個周期の100番目は、100÷7=14あまり2 より、

表1の[30/7]+[2000/7] のところまでくり返され、

この式の和は、

 (289×7+1)×14+289×2

=289×(7×14+2)+14

=28900+14

28914

ということになります。

 

 

 (3)1×1=1、2×2=4、3×3=9、4×4=16 より、

ここまで、[□×□/20]=0 です。

 

5×5=25、6×6=36 より、

ここまで、[□×□/20]=1 です。

 

これ以降は、以下のように、すべて違う種類の整数になり、

 7×7=49

 8×8=64

 9×9=81  

 10×10=100  

 11×11=121

10×10 と11×11 からは、2つの差が【20】以上になり、

商は必ず違う整数となります。

 12×12=144

 13×13=169

 14×14=196

 15×15=225

 16×16=256

 17×17=289

 18×18=324

 19×19=381

 20×20=400

16種類の整数があることがわかります。

 

 (4) (3)を参考にすると、

1×1から8×8までは、68より小さいので、[□×□/68]=0

 

68×2=136より、

 9×9から11×11までは、[□×□/68]=1

 

のように続きます。

 □×□-△×△ が、68以上になれば、商は必ず異なるものに

なります。

 そのようになる□×□、△×△を探すと、

30×30=900、31×31=961 : 差は61

40×40=1600、41×41=1681 : 差は81

35×35=1225、36×36=1296 : 差は71

34×34=1156、33×33=1089 : 差は67

34×34=1156、35×35=1225 : 差は69

 

このことから、[34×34/68] までは、1156÷68=17 より、

 0~17までの18種類の整数があり、

[35×35/68]以降の 2010-34=1976個の整数は

すべて異なる整数ということがわかります。

 

よって、整数の種類は、

 18+1976=1994種類 あることがわかります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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