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2010年10月 4日 (月)

立体図形の切り口 第21問 (甲陽学院中学 2010年 入試問題 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★

 図のように、1辺の長さが5cmの立方体の箱を水にうかべると、

一部分だけが水面上に出ました。水面から上の部分の長さを

測ると、4cm、1cm、3cmでした。この箱の表面のうち、水面から

下の部分の面積を求めなさい。

Pic_1872q

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解答

 考え方として、下の図1のような立方体ABCD-EFGHの

点P,Q,Rを通る平面で切ったとき、切り口がどうなるのかを

考えます。

Pic_1873a

P,Q,Rを通る平面と、辺DHの交点を点Sとして考えると、

P,Q,Rを通る平面が、

  BQ=1cm → CR=3cm となっているので、

  AP= 4cm → DS=6cm となることがわかります。

 

ところが、この立方体の1辺の長さは5cmなので、

立方体の頂点H は、水面より上にあることがわかり、下の図2の

ように、PSとEHの交点をT、RSとGHの交点をUとすると、

Pic_1874a

SH=1cm、PE=1cmで平行なので、三角形PTE と

三角形STHは合同で、点TはEHを2等分する点という

ことがわかります。

 

また、三角形RUGと三角形SUHが相似で、SH=1cm、

RG=2cmなので、相似比が1:2で、点UはHGを1:2に

分ける点ということがわかります。

 

よって、求める面積は、

 台形PEFQ、台形RGFQ、三角形PTE、三角形RUG、

 五角形EFGUT

を合計したものです。

 

台形PEFGの面積 : (1+4)×5÷2

台形RGFQの面積 : (2+4)×5÷2

三角形PTEの面積 : 1×2.5÷2

三角形RUGの面積 : 2×5×2/3÷2

五角形EFGUTの面積 : 5×5-2.5×5÷3÷2

 

これらを合計すると、

 (5×5+6×5+2.5+20/3-25/6)÷2+25

55c㎡ となります。

 

 

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 

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