« 図形の移動 第28問 (智辯学園和歌山中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数) | トップページ | 場合の数 第40問 組み合わせ (聖光学院中学 2009年 受験問題 算数) »

2010年10月22日 (金)

立体図形の切り口 (組み立てて切る) 第22問 (巣鴨中学 2010年 入試問題 算数)

 

問題 (巣鴨中学 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★★★

 下の図は、ある立体の展開図で、直角二等辺三角形と、

半円、長方形でできています。

  Pic_1914q

図において、AB=AC=BD=CE=DF=GI=HJ=JK=2cm

EG=FH=4cmです。この立体について、次の問に答えなさい。

 

(1)この立体の体積を答えなさい。

(2)この立体をB,C,I,Kを通る面で切ったとき、点Fを含む方の

   立体の体積を求めなさい。

(3)この立体をD,E,G,Jを通る面で切ったとき、点Fを含む方の

   立体の体積を求めなさい。必要なときは、角すいの体積が

   底面積×高さ÷3で求められることを使いなさい。

---------------------------------------------

-----------------------------------------------

解答

 (1)展開図を組み立てると、下の図1の立体になります。

  Pic_1915a

この立体は、三角柱BMK-FNH と、直方体ABFE-LKHG と、

半円柱2つ(合わせると円柱) から構成されており、

立体の体積は、

 三角柱BMK-FNH :4×4÷2÷2×4=16c㎥

 直方体ABFE-LKHG :2×4×4=32c㎥

 円柱:1×1×3.14×4=12.56c㎥ より、

 16+32+12.56=60.56c㎥ と求められます。

 

 (2)B,C,I,Kを通る面は、下の図2のようになりますが、

  Pic_1916a

B,C,I,Kを通る面で立体を切ると、下の図3のように

      Pic_1917a

点C,Eを含む半円柱も切断されることを見落とさないように

注意しましょう。

 

この面で切断すると、点Fを含む方の立体の体積は、

全体から図3の青い部分の立体の体積を除けば求められ、

  60.56-{2×2÷2×4+1×1×3.14÷2×4

               +(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×4}

=60.56-15.42

45.14c㎥ となります。

 

 (3)D,E,G,Jを通る面は、下の図4のようになります。

  Pic_1918a

図4からもわかるように、この平面は三角柱BMK-FNHを

切断します。 ここで、三角形BMKは直角二等辺三角形で、

下の図5のように、

       Pic_1919a_2

MからBKに垂線MPを下ろすと、BK=4cmなので、

BP=MP=PK=2cmとなり、 下の図6のように、

    Pic_1920a_2

D,E,G,Jを通る平面は、点Mを通ることがわかります。

 

したがって、D,E,G,Jを通る面で立体を切ったとき、

点Fを含む立体の体積は、下の図7のように

  Pic_1921a

三角柱DEF-JGH と

三角柱BMK-FNH から 四角すいM-BKJD を除いた立体

の和で求めることができ、

 三角柱DEF-JGH : 2×2÷2×4=8c㎥

 三角柱BMK-FNH : 16c㎥

 四角すいM-BKJD : 底面が長方形BKJD、高さMP より、

                2×4×2÷3=16/3 c㎥

 

求める体積=8+16-16/3=56/3=18と2/3(c㎥) です。 

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

|

« 図形の移動 第28問 (智辯学園和歌山中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数) | トップページ | 場合の数 第40問 組み合わせ (聖光学院中学 2009年 受験問題 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の切り口 (組み立てて切る) 第22問 (巣鴨中学 2010年 入試問題 算数):

« 図形の移動 第28問 (智辯学園和歌山中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数) | トップページ | 場合の数 第40問 組み合わせ (聖光学院中学 2009年 受験問題 算数) »