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2010年10月20日 (水)

連続した数の掛け算 第9問 (渋谷教育学園幕張中学 2004年、早稲田中学 2010年 入試問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2010年、早稲田中学 2010年

     入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 (A)1×2×3、2×3×4、3×4×5、・・・、98×99×100

のように連続する3つの整数の積を98種類考えます。このとき、

次の各問いに答えなさい。 

 

(1)98種類のうち、100の倍数はいくつありますか。

(2)98種類のうち、4の倍数はいくつありますか。

(3)98種類のすべてが、6の倍数になることを説明しなさい。

                  (渋谷教育学園幕張中学 2004年)

 

 (B)次のような、連続した3つの整数の積について考えます。

   1×2×3、2×3×4、3×4×5、・・・、100×101×102

この100個の積について、次の問に答えなさい。

 

(1)6の倍数は何個ありますか。

(2)12の倍数は何個ありますか。

(3)18の倍数は何個ありますか。

(4)36の倍数は何個ありますか。

                         (早稲田中学 2010年)

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解答

 (A) 

 (1)100の倍数

100=10×10=2×2×5×5 です。5と5は同時には

登場することはないので、2×2×25を元に考えます。

25の倍数は、100までに4回登場し、そのうち

100の倍数は

23×24×25、24×25×26、25×26×27

48×49×50、49×50×51、50×51×52

73×74×75、74×75×76、75×76×77

98×99×100

7通りとなります。

 

  (2)4の倍数

1×2×3、2×3×4、3×4×5、4×5×6、

5×6×7、6×7×8、7×8×9、8×9×10、

9×10×11、10×11×12、11×12×13、12×13×14、

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

97×98×99、98×99×100

4の倍数にならないものは、3つおきに登場します。

これは、98÷4=24あまり2ですので、

24+1(97×98×99の分)=25個ありますので、

4の倍数になるものは、98-25=73個あります。

 

<別解>

4の倍数になるのは

①偶数×奇数×偶数 の場合と、

②奇数×4の倍数×奇数 の場合です。

①の場合は、98÷2=49個

②の場合は、98÷4=24あまり2なので、24個

よって、49+24=73個が4の倍数となります。

 

  (3)6の倍数=2×3 が含まれるものです。

連続する3つの整数の場合、

①奇数×偶数×奇数、偶数×奇数×偶数、の2パターンです。

必ず偶数は含まれるので、いずれも2の倍数となります。

② ○×△×3→△×3×□→3×□×●→□×●×次の3の倍数

のように、3の倍数は、どの積にもはいってきますので、

いずれも3の倍数となります。

①、②から、いずれも積も、2の倍数であり、3の倍数でもある

ので、2×3=6の倍数になるということです。

  

 

 (B)

 (1)6=2×3 なので、偶数×3の倍数 が積に含まれれば

積の結果は6の倍数となります。たとえば、8×9×10 のように。

 

100個の積について考えると、連続する3個の整数の積なので

必ず偶数は含まれます。

 

さらに、3の倍数も必ず1つ含まれます。

よって、100個の積の結果は全て6の倍数といえるので、

6の倍数の個数は、100個です。

 

 (2)12の倍数は、3×4 なので、(1)の100個と求めた

すべての積について、さらに4の倍数であることが条件として

増えます。

 

連続した3個の整数の積の中で、4の倍数は、

下のように、4個のうち3個の積に含まれていることがわかり、

1×2×3 2×3× 3××5 ×5×6 

5×6×7 6×7× 7××9 ×9×10

9×10×11 10×11×12 11×12×13 12×13×14 

100個のうち、100÷4×3=75個 が12の倍数であることが

わかります。

 

 (3)18= 3×6 または 2×9 と表すことができますが、

連続した3つの整数の積では、3の倍数と6の倍数が同時に

含まれることはないので、偶数×9の倍数 の積のものが

18の倍数ということになります。

 

偶数×9の倍数 が含まれる積は、たとえば

 ①7×8×9、②8×9×10、③9×10×11 のように、

1つの9の倍数の含まれる①、②、③の3個の式で表すことが

できます。

 

1から100までに9の倍数は11個あるので、(9×11=99)

18の倍数は、11×3=33個 あることがわかります。

(最後、33個目の99×100×101まで、含まれます)

 

 (4)36=4×9 なので、(3)の33個のうち、

4の倍数であるものの個数を調べます。

 

たとえば、(3)の18の倍数として挙げた

 ①7×8×9、②8×9×10、③9×10×11

のうち、36の倍数は、4の倍数を含む①、②の2個です。

 ④16×17×18 ⑤17×18×19 ⑥18×19×20

の3個のうちでは、④、⑥の2個です。

 ⑦25×26×27 ⑧26×27×28 ⑨27×28×29

の3個のうちでは、⑧、⑨の2個です。

 ⑩34×35×36 ⑪35×36×37 ⑫36×37×38

の3個のうちでは、3個すべて36の倍数です。

 

36の倍数の個数なので、36まで調べれば規則性がわかり、

12個のうち9個が36の倍数とわかりました。

9×11=99 で、11周期目まで調べることになるので、

 2個、2個、2個、3個 (36まで、9個)

 2個、2個、2個、3個 (36×2=72まで、9個)

 2個、2個、2個     (99まで、6個) より、

36の倍数の個数は、9×2+2×3=24個 とわかります。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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