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2010年10月26日 (火)

数の性質 第61問 (桐蔭学園中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (桐蔭学園中学 2010年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

 1から9までの数字が書かれたカードが1枚ずつあります。

この中から3枚を同時に取り出します。次に、取り出された

3枚のカードを大きい順にならべた3けたの数から、

3枚のカードを小さい順にならべた3けたの数を引き、

3けたの整数を作ります。

 たとえば、取り出された3枚のカードが、6,4,2なら、

642-246=396 となり、これを記号で[ 6,4,2 ]=396

と表すことにします。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)[8,7,5] と[6,5,3] で表される3けたの整数を答えなさい。

(2)[A,B,C] =198 となる3枚のカードA,B,Cの組

   (A,B,C)を全て求めなさい。ただし、AはBより、BはCより

   大きい数とします。

(3)[ A,B,C ] で表される数が、A,B,Cを使った3けたの数で

   あるとき、この3けたの数を求めなさい。

   AはBより、BはCより大きい数とします。

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解答

 (1)[8,7,5]=875-578=297

    [6,5,3]=653-356=297

 

 (2)(1)で、[ 8,7,5] と [ 6,5,3 ] が同じ数字になった

のは、8-2=6、7-2=5、5-2=3 となって、全ての数から

同じ数【2】を引いたものなので、結果が等しくなったことに

気づけば、

 [ A,B,C ] =198

となる (A,B,C)の組を1組見つけることができれば、

残りの組はすぐに分かるということです。

 

ABC - CBA = 198 となるのは、

たとえば、11-3=8より、381-183=198 がありますが、

  問題文の条件:AはBより、BはCより大きいということに

 当てはまらないので、当てはまるようにBの部分を直し、

321-123=198 とするのがよいでしょう。

 

(1)を参考にすれば、

 (A,B,C)=(3,2,1)、(4,3,2)、(5,4,3)、(6,5,4)

         (7,6,5)、(8,7,6)、(9,8,7) 

以上の7組あることがわかります。

 

 (3) (1)、(2)よりわかることは、下の式のように

       Pic_1929a_2

3けたの数の十の位が「9」になることです。

A,B,C のうち、どれかが9になるわけですが、

AはBより、BはCより大きい数なので、

A=9 ということになり、下の式2のようになります。

       Pic_1930a_2

式2からわかることは、

 C+10-9=△

 9-1-C=□ 

すなわち、

 C+1=△

 8-C=□

ということです。

 

□と△は、A,B,C のいずれかの数です。

□=9ということは、ありえません。(8-C=9 ・・・×)

△=9ということも、ありえません。(C+1=9 → C=8・・・×)

   (Cは最高でも7です)

 

□と△は、BまたはCということになります。

まず、△=C+1=C ということはありえませんので、

    △=B ということがわかります。

    すなわち、B=C+1 です。

 

次に、□=8-C=C とすると、

  C=4となります。

    □=8-C=B=C+1 とすると、Cは整数にならないので

C=4、B=4+1=5 ということになり、

  [ A,B,C ] = [ 9,5,4 ] =954-459=495 です。 

 

 

 桐蔭学園中学の過去問題集は → こちら

 桐蔭学園中学の他の問題は → こちら

 

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