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2010年10月 5日 (火)

数の性質 第59問 連続する数の和で表す (奈良学園中学 2010年、攻玉社中学 2008年 入試問題 算数)

 

問題 (奈良学園中学 2010年、攻玉社中学 2008年

     入試問題 算数) 難易度★★★★

 

【 1 】

 2010は、669+770+671 のように3個の連続する

整数の和として表すことができます。次の問に答えなさい。

 

(1)2010を4個の連続する整数の和で表すとき、この連続する

   整数の中で最小の数を答えなさい。

(2)2010を5個の連続する整数の和で表すとき、この連続する

   整数の中で最小の数を答えなさい。

(3)2010を連続する整数の和で表すとき、5個の次に

   多い個数で表すことができるのは何個のときですか。

   また、このとき、連続する整数の中で最小の数を答えなさい。

                        (奈良学園中学 2010年) 

【 2 】

 下の例のように、ある整数を「2つ以上の連続する偶数の和」に

分けて表します。このとき、2008をこのように分けて表すと、和の

最初にくる偶数を答えなさい。

 例 : 70を分けて表す場合

     「4+6+8+10+12+14+16」 

     「10+12+14+16+18」

が考えられ、和の最初にくる偶数は、「4」または「10」です。

                         (攻玉社中学 2008年)

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解答

【 1 】

 (1)連続する4個の整数のうち、最小のものを□とすると、

4個の数は、

 □、□+1、□+2、□+3

と表すことができ、この和が2010なので、

 □+(□+1)+(□+2)+(□+3)=2010

 □×4+6=2010 より、□=501 と求められます。

 

 (2)(1)と同様に、

 □+(□+1)+(□+2)+(□+3)+(□+4)=2010

 □×5+10=2010 より、□=400 と求められます。

 

 (3) (1)、(2)と同様の作業をして、

□×6+(10+5)=2010   (2010-15)÷6 割り切れない

□×7+(10+5+6)=2010(2010-21)÷7 割り切れない

□×8+(21+7)=2010    (2010-28)÷8 割り切れない

□×9+(28+8)=2010   (2010-36)÷9 割り切れない

□×10+(36+9)=2010  (2010-45)÷10 割り切れない

□×11+(45+10)=2010 (2010-55)÷11 割り切れない

□×12+(55+11)=2010 (2010-66)÷12=162

 

よって、連続する12個の整数の和で表すことができ、

最小の数は162 です。 

 

 

 <別解> 

2010=2×3×5×67 と因数分解でき、

連続する整数が奇数個の場合、まん中の数が平均となるので、

まん中の数×個数(奇数)=2010 と表すことができ、

このとき、個数(奇数)は2010の約数となるので、

3個、5個、15個、67個、67×3個、67×5個 ・・・ ①

が考えられます。

連続する整数が偶数の場合、

 (最小の数+最大の数)×個数÷2=2010

と表せるので、

 (最小の数+最大の数)×個数=4020

より、個数(偶数)は、4020 の約数で、

 4020=2×2×3×5×67 より、

個数(偶数)=2,4,6,10,12,20,・・・ :②

と考えることができ、①、②より、

5個以降で連続する整数の和で2010を表せるのは、

6個、10個、12個、15個、20個、・・・ で、順に調べると、

 6個の場合

  (最小の数+最大の数)=4020÷6=670 で、

  □+(□+5)=670 より、

  □×2+5=670 を解くと、□は整数になりません。

 

 10個の場合

  最小の数+最大の数=4020÷10=402 で、

  □+(□+9)=402 を解くと、□は整数になりません。

 

 12個の場合

  最小の数+最大の数=4020÷12=335 で、

  □+(□+11)=335 を解くと、

  □=(335-11)÷2=162 となります。

 

よって、5個の次に多い個数で2010を連続する整数の和で

表すと、12個の連続する整数の和で表すことができ、そのとき

最小の数は、162 です。

 

 

【 2 】

 偶数□個の和で表せるとき、□が偶数のとき、たとえば2個なら、

    <偶数A>、(奇数B)、<偶数A+2>

の和が2008ですが、偶数の平均は、中央の奇数Bとなります。

 

□が奇数のときは、たとえば3個なら、

    <偶数A>、<偶数B>、<偶数C>

の和が2008ですが、偶数の平均は中央の偶数Bとなります。

 

2008が□個の偶数の和で表されるとき、2008は□で

割り切れるということです。

 

 2008=2×1004、4×502、8×251

と表すことができ、251は素数(1と251以外では割り切れない)

なので、

 □=偶数個 で、 和の中央は奇数 

という性質を満たすのは、8個の和で、中央が251の場合だけです。

 

 □=奇数個 で、 和の中央は偶数

という性質を満たすのは、251個の和で、中央が8 ・・・ というのは

不可能です。

 

よって、2008を偶数の和で表すと、8個の偶数の和になり、

 244、246、248、250、252、254、256、258

となるので、和の最初にくる偶数は 244 です。

 

 

 奈良学園中学の過去問題集は → こちら

 攻玉社中学の過去問題集は → こちら

 奈良学園中学の他の問題は → こちら

 攻玉社中学の他の問題は → こちら

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