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2010年10月15日 (金)

数の性質 第60問 9の倍数 (立教新座中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (立教新座中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 各位の数の和が9の倍数になるとき、その数は9の倍数に

なります。たとえば、「279」は、各位の数の和が、2+7+9=18

となり、9の倍数なので、「279」は9の倍数だとわかります。

また、3けたの数「2AB」が9の倍数となるのは、AとBの数の組

(A,B)が(5,2)や(8,8)などのときです。このことを用いて

次の問に答えなさい。

 

(1)6けたの数「32A6B4」が9の倍数になるような、AとBの

   数の組(A,B)は何組ありますか。

(2)6けたの数「57A76B」が36の倍数になるような、AとBの

   数の組(A,B)をすべて求めなさい。

(3)6けたの数「8753AB」が72の倍数になるような、AとBの

   数の組(A,B)をすべて求めなさい。

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解答

 (1)「32A6B4」が9の倍数になるには、

3+2+A+6+B+4=15+A+B が9の倍数になればよく、

A,Bが1けたの整数であることから、

 A+B=3、A+B=3+9=12、A+B=3+9+9=21

のうち、AとBの和が、3または12であればよいことがわかります。

 

A+B=3のとき、A,Bの組は、

  A=0、B=3

 A=1、B=2

  A=2、B=1

  A=3、B=0 の4組

 

A+B=12のとき、A,Bの組は、

  A=3、B=9

 A=4、B=8

 ・・・・・・・・・・・

 A=9、B=3 の9-2=7組

  

以上より、「32A6B4」が9の倍数となるA、Bの組は、

  4+7=11組 です。

 

 

 (2)「57A76B」が36の倍数になるA,Bの組を調べます。

36の倍数は、36=9×4 より、9の倍数で、なのかつ4の倍数

である必要があります。

 

すなわち、

 9の倍数である条件:

     5+7+A+7+6+B=25+A+B が9の倍数

 4の倍数である条件

     下2けた「6B」 が4の倍数               

という条件を満たしていなければなりません。

 

まず、「6B」で4の倍数となるには、60番台の4の倍数を探すと

 60、64、68 の3つがあるので、B=0または4または8 です。

 

次に、25+A+B のBに、0,4,8を入れて、9の倍数になるよう

Aの値を求めていくと、

 B=0のとき、A=2

 B=4のとき、A=7

 B=8のとき、A=3

となるので、「57A76B」が36の倍数となるようなA,Bの組は、

 (2,0)、(7,4)、(3,8) の3組です。

 

 

 (3)「8753AB」が72の倍数になるようなA,Bの組を調べます。

72=9×8 なので、72の倍数は、9の倍数で、なおかつ8の倍数

という条件を満たすことになります。

 

すなわち、

 9の倍数の条件: 

  8+7+5+3+A+B=23+A+B が9の倍数

 8の倍数の条件

  下3けた「3AB」が8の倍数

という条件を満たさなければなりません。

 

もちろん、72は4の倍数なので、下2けた:「AB」が4の倍数

ということも必要です。

 

この問題では、8の倍数や4の倍数を探すと多そうなので、

9の倍数から検証していきます。

 

23+A+B が9の倍数になるような (A,B)の組は、

 A+B=4のとき、

 (0,4)→ 04は4の倍数

 (1,3)→ 13は奇数なので不適

 (2,2)→ 22は4の倍数ではないので不適

 (3,1)→ 31は奇数なので不適

 (4,0)→ 40は4の倍数

 

 A+B=4+9=13のとき

 (4,9)→ 49は奇数なので不適

 (5,8)→ 58は4の倍数ではないので不適

 (6,7)→ 67は奇数なので不適

 (7,6)→ 76は4の倍数

 (8,5)→ 85は奇数なので不適

 (9,4)→ 94は4の倍数ではないので不適

 

以上より、(0,4)、(4,0)、(7,6)の3組が残りました。

最後に、「3AB」が8の倍数になるかどうか調べると、

 304→ 8で割り切れるので8の倍数

 340→ 8で割り切れないので不適

 376→ 8で割り切れるので8の倍数

となり、「8753AB」が72の倍数になるようなA,Bの組は、

 (0,4)、(7,6) の2組です。

 

 

関連問題

数の性質 4の倍数と8の倍数

数の性質 36の倍数 (灘中学 2006年)

 

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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