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2010年10月28日 (木)

立体図形の体積 第25問 (城北中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題)

 

問題 (城北中学 2009年 受験算数問題) 難易度★★★★

 下の図の三角柱は、底面が直角二等辺三角形で、側面は

すべて長方形です。この三角柱を3点A,C,Pを通る平面で

切ります。AC=8cm、AD=6cm、BP=PE のとき、次の

問に答えなさい。

      Pic_1939q

(1)三角すいABCPの体積を求めなさい。

(2)切り口の三角形ACPの面積を求めなさい。

(3)三角すいABCPの、底面を三角形ACPとしたときの高さを

   求めなさい。

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解答

 (1)三角形ABCの面積は、AC=8cmなので、

8×8÷2÷2=16c㎡ です。

 

三角すいABCPは、底面が三角形ABC,高さがBPなので、

体積は、16×3÷3=16c㎥ です。

 

 (2)三角形ABCが直角二等辺三角形なので、辺ACのまん中に

点Qを取ると、BQ=8÷2=4cmです。

 

下の図1の三角形BPQに注目します。

      Pic_1940a

三角形ABC と辺BE は垂直に交わっているので、

   角PBQ=90度 です。

また、BP=3cm、BQ=4cm なので、

三角形BPQは、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形

ということがわかり、PQ=5cm です。

 

辺ACとBQは直角に交わっているので、

辺ACと三角形BPQも直角に交わっており、

辺ACとPQは直角になります。

 

よって、三角形APCの面積は、

辺ACを底辺とし、PQを高さとする三角形として、

  8×5÷2=20c㎡

と求めることができます。

 

 (3)三角すいの体積は、底面積×高さ÷3なので、

三角形APCを底面とすると、

 20×高さ÷3=16 より、高さ=2.4cm とわかります。

 

 

 城北中学の過去問題集は → こちら

 城北中学の他の問題は → こちら

 

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