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2010年10月 8日 (金)

立体図形の表面積 第4問 (東大寺学園中学 2008年 入試問題 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 2008年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 1辺が27cmの立方体の辺ABを 1 : 2 に分ける点をC とし、

AC,CB を1辺とする立方体を図1のように作ります。次に、

AC,CB を 1 : 2 に分ける点をそれぞれD,E として、AD,DC,

CE,EB を1辺とする立方体を図2のように作ります。さらに、

AD,DC,CE,EB を 1 : 2 に分ける点をそれぞれF,G,H,I

として、AF,FD,DG,GC,CH,HE,E I ,I B を1辺とする

立方体を同様にして作り、これら8個の立方体でできた立体を

V とします。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_1880q

(1) 立体Vの体積を求めなさい。

(2) 立体Vの表面積を求めなさい。

(3) 1辺の長さが27cmの最初の立方体から立体Vを取り除いた

   とき、残った立体の表面積を求めなさい。

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解答

 (1)図2において、AD=3cm、DC=CE=6cm、EB=12cm

で、それぞれを1:2に分ける 点がF,G,H,I なので、

   AF=1cm、FD=2cm、DG=2cm、GC=4cm

   CH=2cm、HE=4cm、E I=4cm、I B=8cm

です。

 

立体Vは、それぞれの辺を1辺として8個の立方体でできており、

その体積は、

 1×1×1+2×2×2×3+4×4×4×3+8×8×8

=1+24+4×4×4×(3+8)=25+64×11

=25+704

729c㎥ です。

 

 (2)図2を見てもわかるように、立体Vを前後、左右、上下の

方向から見るとき、前後、上下の面の面積は、それぞれの

立方体の面の面積と等しくなっており、

  (1×1+2×2+2×2+4×4+2×2+4×4

                      +4×4+8×8)×4

  =(1+4×3+16×3+64)×4

  =(1+60+64)×4=125×4

  =500c㎡  ・・・ ①

です。

 

これに左右の方向の面積を加えればよいことになります。

立体Vは、下の図3のように立方体がならんでいるので、

Pic_1881a

図3の青い部分は、かくれて見えません。

この青い部分は2面あり、その面積は、

 (4×4-2×2)×2=24c㎡  ・・・ ②

 

左右方向から見える面積は、

 8×8×2=128c㎡  ・・・ ③

です。

 

よって、立体Vの表面積は、①、②、③の合計で、

 500+24+128=652c㎡ です。

 

 (3)立体Vのうち、下の図4の部分は、元の立方体と

接していません。(立体Vの前面、下面、最も右面と最も左面)

 Pic_1882a_2

これは、(2)の①の半分(前面と下面)と、

1辺8cmの正方形と1辺1cmの正方形の面積の和で、

    500÷2+8×8+1×1=315c㎡ です。

 

1辺27cmの立方体の表面積は、

 27×27×6=4374c㎡ なので、

1辺27cmの立方体から立体Vを取り除いた立体の表面積は、

  1辺27cmの立方体から図4の部分を除いた表面積と、

  立体Vから図4の部分を除いた表面積の和で、

 (4374-315)+(652-315)=4396c㎡ と求められます。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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