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2010年10月14日 (木)

規則性の問題 図形 第14問 (駒場東邦中学 2001年 入試問題 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 2001年 入試問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 1辺10cmの立方体Aがあります。

(1)立方体Aの6個の面に、辺の長さがAの半分の立方体Bを

   辺どうしが重ならないように、下の図のようにはりつけます。

   こうしてできた立体の辺の数を答えなさい。

 Pic_1915q

(2)(1)の立体の立方体Bの、立方体Aと重なっていない

   すべての面に、辺の長さが立方体Bの半分の立方体Cを

   辺どうしが重ならないようにはりつけてできる立体の

   面の数を答えなさい。

(3)(2)でできた立体の立方体Cの、立方体Bと重なっていない

   すべての面に、辺の長さが立方体Cの半分の立方体Dを

   辺どうしが重ならないようにはりつけてできる立体の

   表面積を答えなさい。

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解答

 (1)立方体Aのすべての面に立方体Bをはりつけてできる

立体の辺の数は、立方体が7個あることと同じで、

立方体の辺の数は12本なので、

  12×7=84本 です。

 

 (2)立方体Cの個数は、立方体Bの5倍あるので、

6×5=30個あります。

 

立方体Cは、1つの面が立方体Bと重なっているので、

立方体Cの面の数は、30×(6-1)=150面

 

立方体Bは、1つの面が立方体Aと重なっているので、

立方体Bの面の数は、6×(6-1)=30面

 

立方体Aは、すべての面を見ることができるので、

立方体Aの面の数は6面

 

よって、この立体の面の数は、

  150+30+6=186面 です。

 

 (3)まず、立方体Aの表面積は、10×10×6=600c㎡ です。

 

次に、立方体Aに立方体Bをはりあわせた立体で、

立方体B1個につき増える表面積は、下の図1のように

     Pic_1916a_3

立方体Bの4面分の面積が増えるので、立方体Aに立方体Bを

はりあわせた立体の表面積は、立方体Aの表面積に、

立方体Bの個数 × 立方体Bの4面分の面積 )を足せばよく、

   600+6×(5×5×4)=1200c㎡ となります。

 

さらに、立方体Cをはりあわせた立体が下の図2から図3のように

なるので、その表面積は、さきほどと同様に、

Pic_1917a

図2の立体の表面積に

 (立方体Cの個数 × 立方体Cの4面分の面積)を加えて、

1200+30個×(5/2×5/2×4)=1950c㎡ となります。

 

最後に、立方体Dをはり合わせた立体について考えると、

立方体Dの個数が

  5×30=150個 あるので、

増える面積は、(立方体Dの個数 × 立方体Dの4面分の面積)で、

  150個×(5/4×5/4×4)=937.5c㎡ となり、

この立体の表面積は、

 1950+837.5=2887.5c㎡ と求められます。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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