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2010年9月27日 (月)

規則性の問題 操作 第17問 (継子立て) (公文国際学園中等部 2009年 受験問題 算数)

 

問題 (公文国際学園中等部 2009年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 上から番号順に2から100までの偶数番号が書かれた

50枚のカードを重ねた山があります。

 

 【一番上のカードを捨てて、次のカードを山の一番下に入れる】

 

この操作を1回の操作としてくり返し行います。

また、捨てたカードは、下の図1のように捨てた順に重ねます。

Pic_1889q

(1)この操作を10回くり返して行ったあと、残りの山の一番上の

   カードの数字を答えなさい。

(2)捨てたカードの山が下の図2のようになりました。操作を何回

   しましたか。

(3)この操作を何回かくり返したところ、残りのカードの山が下の

   図3のようになりました。100のすぐ下のカードの数字を

   答えなさい。

(4)この操作を50回くり返したところ、残りの山のカードはすべて

   なくなり、捨てたカードの山は下の図4のようになりました。

   ただし、50回目の操作はカードを捨てるだけです。この捨てた

   50枚のカードの山に対して、また同じ操作をくり返し行います。

   このとき、100のカードを捨てるのは何回目の操作ですか。

   図4で一番上の72のカードを捨てるのは51回目の操作です。

  Pic_1890a

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解答

 (1)操作を□回した後の、残りのカードの山の一番上のカードは、

4×□+2 となっているので、操作を10回した後の残りのカードの

山の一番上のカードの数字は、4×10+2=42 です。

 

 (2)「12」のカードは、1周目に捨てられないことは

すぐにわかると思います。

 

4×□+2=100 とすると、□=24あまり2 となり、

24回目(□=24)の操作の後、「98」が一番上になり、 

操作を25回した後、残りの山の一番上に来るカードは、

下の図5のように「4」になります。

       Pic_1891a

残りのカードは、4,8,12,16,・・・,100 の25枚です。

26回目からは、4,12,20,・・・のカードが捨てられ、

「12」のカードは27回目の操作で捨てることがわかります。

 

よって、「12」のカードが捨てられたカードの山の一番上に

なるのは、27回目の操作です。

 

 (3)26回目以降の操作で捨てるカードは、

4,12,20,・・・ の順で、8の倍数のカードが残ります。

 

残りのカードの山で、100は「96」の次に重なっていて、

96は、25+96÷8=37回目の操作で、残りのカードの

山の一番下に入れられるので、「100」のカードは37回目

操作の後で、山の一番上になることがわかります。

 

このとき、「100」のカードの下にあるのは、「」ですね。

 

 (4) (3)より、「100」のカードは「38回目」の操作で

捨てられるので、下の図6のように、下から38番目に

あることがわかります。

              Pic_1892a

このカードの山を、上から同様に取っていくので、

「100」のカードが上から何番目か調べる必要があり、

「100」のカードは、上から 

 50-38+1=13枚目 にあることがわかります。

 

上から13枚目というのは、最初のカードの山の

「26」のカードに相当し、「26」のカードを捨てるのは、

 4×□+2=26 とすると、□=6 なので、

6回の操作の後に山の一番上にあり、6+1=7回目 となります。

 

「72」のカードを捨てるのが51回目なので、

「100」のカードを捨てるのは、50+7=57回目 です。

 

 

 【関連問題

 規則性の問題 (開成中学 2009年)

 

 

 公文国際学園中等部の過去問題集は → こちら

 公文国際学園中等部の他の問題は → こちら

 

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