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2010年9月10日 (金)

数の性質 第56問 (桐朋中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (桐朋中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 1から12までの異なる12個の整数を4個ずつ、3つのグループに

分けます。ただし、3と4、9と10のように、連続する2つの整数は

同じグループには入れません。

 3つのグループのうち、「1」が入っているグループをA,「2」が

入っているグループをB,1も2も入っていないグループをC と

します。このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1) Aに入る4つの数が、1,5,7,12のとき、Cに入る4つの

     数として考えられるものは2通りあります。その2通りに

     ついて、4つの数をそれぞれ小さい順に書きなさい。

 

 (2)Bに入る4つの数の積と、Cに入る4つの数の積の比が

    231:200 のとき、B,Cに入る4つの数として考えられる

    ものをそれぞれ小さい順に書きなさい。

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解答

 (1)Aに、1,5,7,12 が入るとき、

    Bには、2、

    Cには、3、

 が入ります。次に、4は、Bへ入り、

   Bには、2,4、

   Cには、3、

残りは、6,8,9,10,11 の5種類の数となります。

 

ここで、8と9、9と10、10と11は同じグループには

入らないので、【8、10】、【9,11】が同じグループに

入ることがわかります。

  すると、Bに【8,10】が入るときと、【9,11】が入るときを

考えると、

 Bには、2,4,8,10

 Cには、3,6,9,11

という場合と、

 Bには、2,4,9,11

 Cには、3,6,8,10

の2通りができます。(6は自動的にCへ入ります) 

 

 (2)まず、最初にA,B,Cに当てはまる数は、

       Aには、1、?、?、?

       Bには、2、?、?、?

       Cには、?、?、?、?

となっています。

 

Bの4つの数の積とCの4つの数の積の比が231:200で、

 231=3×7×11 です。

 

Bには、2があるので、4つの数の積を 2×3×7×11 としたい

ところですが、2と3が同じグループではダメです。

 

そこで、3,7,11の倍数を考えます。

 

7,11は、2倍すると14,22となってしまい、1~12の条件に

合いません。

 

3の倍数では、6,9,12 が考えられますが、

 2×3×7×11 の3を6,9,12に変えたときには、【9】だけが

条件を満たします。(6と7、11と12は同じグループに入れない)

 

よって、のグループの4つの数は、2,7,9,11 となります。

 

次に、2×7×9×11=231×6 なので、

  Cのグループの4つの数の本当の積は、200×6=1200

ということがわかります。

 

 1200=12×100

     =4×3×10×10 

     =2×2×3×2×5×2×5

となり、これを4つの数の積にしていくと、

      =6×10×4×5

     =3×5×8×10

と表すことができるので、に入る4つの数は、3,5,8,10

わかります。

 

 

 桐朋中学の過去問題集は → こちら

 桐朋中学の他の問題は → こちら

 

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